Exercicis: Problemes de límits i continuïtat

La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'una tassa de cafè en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límit de la temperatura quan el temps tendeix a infinit i interpreta el significat físic d'aquest resultat.

El nombre d'individus d'una població de cérvols en un parc natural es modelitza mitjançant la funció $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, on $t$ és el temps transcorregut en anys des del 2020. Cap a quin valor tendeix la població a molt llarg termini?

Una companyia telefònica cobra segons la funció $C(x)$ (en euros), on $x$ són els gigabytes consumits en un mes:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia la continuïtat de la funció en $x = 10$ calculant els límits laterals i indica si hi ha cap salt brusc en la tarifa.

L'espai recorregut per un mòbil en metres ve donat per la funció $e(t) = t^2 + 3t$. La velocitat mitjana entre els instants $t = 2$ i $t = 2+h$ es calcula mitjançant el quocient $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcula el límit d'aquesta expressió quan $h \to 0$ per trobar la velocitat instantània en $t = 2$.

El cost mitjà de produir $x$ unitats d'un component electrònic és $C_m(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$ euros. Calcula el límit de $C_m(x)$ quan $x \to \infty$ i explica el seu significat econòmic en termes de costos de producció.

La concentració d'un fàrmac en la sang (en mg/L) després de $t$ hores de la seva administració ve donada per $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límit de $C(t)$ quan $t \to \infty$ i raona què li passa al fàrmac en l'organisme amb el pas del temps.

Un dipòsit d'aigua de $100$ litres es buida obrint una vàlvula. El volum d'aigua restant segueix la funció $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, on $t$ està en minuts ($0 \le t \le 60$). Calcula el límit de $V(t)$ quan $t \to 60^-$ i interpreta el resultat.

El salari mensual d'un venedor és $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, on $x$ és el nombre de vendes realitzades. Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la funció sigui contínua en $x = 50$, evitant així un salt injustificat en el sou.

Per analitzar la diferència de costos a llarg termini entre dos processos industrials, la Sofía ha de calcular el límit següent:

En el seu examen escriu el següent:

«Com que per a valors molt grans de $x$ el terme $6x$ és insignificant enfront de $x^2$, es té que $\sqrt{x^2 + 6x} \approx \sqrt{x^2} = x$. Per tant, el límit és $\lim_{x \to +\infty} (x - x) = 0$. La diferència a llarg termini serà nul·la.»

1. a) Explica raonadament per què l'argument de la Sofía és matemàticament erroni i quin tipus d'indeterminació ha passat per alt.
2. b) Resol el límit de manera correcta utilitzant la tècnica del conjugat i calcula el veritable valor d'equilibri al qual s'aproxima la diferència de costos.

Una empresa municipal d'aigües a Espanya factura el consum bimensual domèstic mitjançant una tarifa regulada per trams per incentivar l'estalvi. Si un habitatge consumeix $x$ metres cúbics ($m^3$), l'import total de la factura $C(x)$ (en euros) es regeix per la funció:

on $k$ és una constant fixada pel consistori.

1. a) Interpreta el significat pràctic dels valors $12$ i $0,80$ en el primer tram del model.
2. b) Determina el valor que ha de tenir el paràmetre $k$ perquè la funció de facturació sigui contínua a $x = 15\text{ m}^3$.
3. c) Justifica quin problema d'equitat o incoherència econòmica per a l'usuari passaria si s'elegís un valor de $k$ diferent de l'obtingut (distingeix segons si $k$ és més gran o més petit).

El percentatge d'impostos $I(x)$ que paga una empresa en funció dels seus beneficis $x$ (en centenars de milers d'euros) es regeix per la llei següent:

$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$

Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció impositiva sigui contínua en tot el seu domini.

La propagació d'un virus en una ciutat segueix el model logístic $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0,2t}}$, on $N(t)$ és el nombre d'infectats i $t$ són els dies transcorreguts des de l'inici del brot. Calcula el nombre d'infectats en l'instant inicial ($t=0$) i el límit quan $t \to \infty$. Què representa aquest límit en el context epidemiològic?

La gràfica mostra la funció de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ per a un producte, on $p$ és el preu en euros i $D(p)$ la quantitat demandada, vàlida per a $p \neq 10$. Calcula analíticament el límit de la demanda quan el preu $p$ s'acosta a $10$ euros. Per què creus que el model matemàtic presenta una discontinuïtat (un "forat") exactament en $p=10$?

L'eficiència d'un panell solar en funció de la temperatura $T$ (en graus Celsius) ve donada per l'expressió $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ per a valors propers a $T = 3$ (una temperatura crítica en un assaig de laboratori). Calcula el límit de l'eficiència quan $T \to 3$ per determinar el valor teòric continu en aquest punt.

El capital acumulat en un compte bancari amb interès compost continu es pot modelitzar mitjançant el límit $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, on $n$ és el nombre de períodes de capitalització per any. Si el capital inicial és $C_0 = 5000$ euros i la taxa anual és $r = 0,04$, calcula el límit per obtenir la fórmula del capital continu i determina el saldo al cap de $t = 10$ anys.

En la teoria de la relativitat, l'energia cinètica d'una partícula de massa en repòs $m_0$ que es mou a velocitat $v$ és $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, on $c$ és la velocitat de la llum. Calcula el límit de $E_c$ quan $v \to c^-$. Quina implicació física té aquest resultat respecte a la possibilitat que una partícula massiva assoleixi la velocitat de la llum?

La concentració d'un contaminant químic en un riu es modelitza amb la funció:

$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè el model de concentració sigui una funció contínua en tot moment.

El benefici a llarg termini d'una empresa de tecnologia ve donat per la diferència entre dos models de previsió d'ingressos i costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, on $t$ és el temps en mesos. Calcula el límit del benefici quan $t \to \infty$ multiplicant i dividint per l'expressió conjugada.

Durant una etapa contrarellotge de la Vuelta Ciclista a España, la distància recorreguda per un ciclista en un tram recte ve donada per l'expressió $e(t) = 0,5t^2 + 4t$, on $t$ es mesura en segons i $e(t)$ en metres (vàlida per a $0 \le t \le 30$). Es vol conèixer la seva velocitat instantània exacta en l'instant $t = 8\text{ s}$.

1. a) Calcula la velocitat mitjana en els intervals de temps $[8;\, 9]$, $[8;\, 8,1]$ i $[8;\, 8,01]$. A partir d'aquests valors numèrics, fes una estimació intuïtiva de quina hauria de ser la velocitat instantània exacta als $8\text{ s}$.
2. b) Comprova la teva estimació calculant algebraicament el límit del quocient incremental que defineix aquesta velocitat:

Desenvolupa el numerador, simplifica la fracció abans de substituir $h$ per $0$, obtén el valor exacte i interpreta les unitats del resultat.

Es vol demostrar que la temperatura interior d'un hivernacle automatitzat a Almería s'iguala amb la de l'exterior en algun moment entre les $2$ i les $3$ hores de la matinada. El balanç tèrmic entre ambdós ambients condueix a l'equació $x^3 - 2x^2 - 1 = 0$, on $x$ és el temps en hores transcorregut des de mitjanit.

Per justificar que existeix almenys una solució en l'interval $[2, 3]$, dos membres de l'equip proposen camins diferents:

• Mètode A (Algebraic directe): Intentar resoldre exactament l'equació factoritzant el polinomi mitjançant la regla de Ruffini amb les possibles arrels enteres.

• Mètode B (Topològic/Continuïtat): Definir una funció contínua $f(x) = x^3 - 2x^2 - 1$ i aplicar el Teorema de Bolzano en l'interval $[2, 3]$.

1. a) Aplica el Mètode A comprovant si alguna de les possibles arrels enteres del polinomi permet resoldre l'equació en aquest interval. Quina limitació trobes?
2. b) Aplica el Mètode B comprovant detalladament cadascuna de les hipòtesis del Teorema de Bolzano.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quin és l'adequat per a aquest problema, concloent amb rigor si es produeix o no la igualació tèrmica anunciada.

Un punt $P(x, x^2)$ es mou sobre la paràbola $y = x^2$ en el primer quadrant. Es traça una línia recta que passa pel punt fix $A(0, 1)$ i pel punt $P$. Aquesta recta talla l'eix d'abscisses en un punt $Q$. Calcula les coordenades del punt $Q$ en funció de $x$ i troba el límit de la posició de $Q$ quan el punt $P$ s'allunya cap a l'infinit ($x \to \infty$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un model de propagació d'una epidèmia estima que el nombre d'infectats (en milers) segueix la funció racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, on $t$ és el temps en setmanes. Es sap que a molt llarg termini el nombre d'infectats s'estabilitza en $50$ mil, que en l'instant inicial $t=0$ hi havia $10$ mil infectats, i que el límit de la funció quan $t \to 1$ és $35$. Troba els paràmetres $a, b, c$.

La trajectòria vertical d'un dron en una prova de vol s'ha programat segons la funció $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ per a $t \neq 3$, on $h$ és l'altura en metres i $t$ el temps en segons. Per evitar una fallada en el programari, l'enginyer ha d'assignar un valor a $h(3)$. Estudia els límits laterals en $t=3$. És possible definir $h(3)$ perquè la funció sigui contínua? Explica les conseqüències físiques d'aquest comportament.

El cost de manteniment de dos servidors informàtics a llarg termini ve donat per les expressions $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ i $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, on $x$ són els mesos d'ús continu. Es vol saber si la diferència de cost entre tots dos servidors s'estabilitza com el temps. Calcula $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.

Una empresa estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) segueixen la funció $I(x) = 2^x - x^2$, i els seus costos operatius són $C(x) = \frac{10}{x+1}$, on $x$ és el preu del producte en euros ($x \ge 0$). Demostra, justificant la teva resposta mitjançant el teorema de Bolzano, que existeix un preu $x$ en l'interval $[4, 5]$ per al qual l'empresa té un benefici estrictament nul.

En un cultiu de bacteris en condicions controlades, la biomassa després de $t$ hores es modelitza mitjançant la funció $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabent que es tracta d'una indeterminació del tipus $1^\infty$, calcula el límit de la biomassa quan $t \to \infty$.

La funció de demanda d'un article de luxe és $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, on $p$ és el preu en milers d'euros. Es sap que la funció té una asímptota vertical en $p = 1$ però NO té asímptota vertical en $p = 3$ (la discontinuïtat en $p=3$ és evitable). Sabent que el límit de la demanda quan $p \to 3$ és $2$, troba els paràmetres $a$ i $b$.

Un pèndol esmorteït es deixa anar des d'una posició inicial. La seva amplitud d'oscil·lació ve donada per la funció $A(t) = e^{-0,1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ per a $t > 0$. Calcula el límit de l'amplitud quan $t \to 0^+$ (recorda que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) i quan $t \to \infty$. Interpreta el comportament del pèndol tant en l'instant inicial com a llarg termini.

Un equip de bioenginyeria farmacològica a València està dissenyant el protocol d'administració d'un medicament. Necessiten construir una funció contínua $C(t)$ que modeli la concentració del fàrmac en plasma sanguini (en $\text{mg/l}$) en funció del temps $t \ge 0$ (en hores), complint estrictament les condicions de disseny següents imposades pels metges:

1. Durant les dues primeres hores ($0 \le t \le 2$), la concentració ha de créixer de manera quadràtica segons la llei $C(t) = k \cdot t^2$, partint de $0$ i assolint exactament $6\text{ mg/l}$ en l'instant $t = 2$.

2. A partir de $t > 2$, el fàrmac s'estabilitza i s'elimina lentament segons un model racional de la forma $C(t) = \dfrac{a \cdot t + b}{t - 1}$.

3. La concentració no pot patir salts bruscos en cap moment per raons de seguretat fisiològica (la funció ha de ser contínua a $t = 2$).

4. A molt llarg termini ($t \to +\infty$), si el pacient rep microdosis basals de suport, la concentració d'equilibri residual ha de convergir exactament a $1,5\text{ mg/l}$.

1. a) Dedueix de manera justificada el valor de la constant $k$ en el primer tram.
2. b) Utilitzant el comportament asimptòtic a llarg termini i l'exigència de continuïtat, planteja el sistema corresponent i troba de manera unívoca els paràmetres $a$ i $b$.
3. c) Escriu l'expressió analítica definitiva de la funció $C(t)$ i verifica formalment que es satisfan totes les condicions imposades (continuïtat lateral a $t = 2$ i límit a l'infinit).

En una comarca industrial, la concentració d'un contaminant gasós a l'aire (en $\mu\text{g/m}^3$) a una distància $x$ (en km) en la direcció del vent des del focus emissor ve donada pel model:

La normativa autonòmica de qualitat de l'aire imposa que el nivell màxim admissible per a aquesta zona ve donat pel llindar de referència $U(x) = \dfrac{25}{x + 3}$.

1. a) Calcula el límit quan $x \to +\infty$ de la funció teòrica $C(x)$ (resolent algebraicament la indeterminació mitjançant el conjugat) i interpreta què significaria físicament aquest valor asimptòtic si el model fos aplicable a distàncies infinites.
2. b) Els tècnics de medi ambient sospiten que, malgrat que $C(0) = 0$ i $U(0) > 0$, existeix necessàriament un punt crític en el tram $[1, 6]$ on el nivell real de contaminant iguala exactament el llindar de la normativa. Demostra de manera rigorosa aquesta afirmació formulant la funció adequada i verificant totes les hipòtesis del Teorema de Bolzano, sense necessitat de calcular la posició exacta.
3. c) A partir de $x = 12\text{ km}$ s'implanta una barrera vegetal que altera la dispersió segons el model $C_{\text{bosc}}(x) = \dfrac{A \cdot x}{x + 3}$. Determina raonadament el valor exacte del paràmetre $A$ perquè la concentració de contaminant no presenti una discontinuïtat de salt en el punt d'empalmament $x = 12$.

Repte del tema. Quant costa realment cada quilowatt-hora consumit a la teva llar? Modela el cost unitari per optimitzar la despesa energètica familiar.

1. Presa de dades: Revisa l'última factura elèctrica de casa teva (o consulta el simulador de la CNMC/REE). Anota el cost fix mensual ($F$, aprox. $15,20$ €) i el preu variable ($p$, aprox. $0,14$ €/kWh). Planteja la funció racional de cost mitjà per kWh: $C(x) = \frac{F + p \cdot x}{x}$.

2. Taules i càlcul analític: A GeoGebra o en un full de càlcul, elabora una taula per estimar numèricament $\lim_{x \to 0^+} C(x)$. Troba analíticament els punts de tall, el signe, els intervals de monotonia i les asímptotes.

3. Continuïtat i límits: Calcula algebraicament $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ resolent la indeterminació. Analitza la continuïtat de la funció a $[0, +\infty)$ i explica què signifiquen totes dues asímptotes a la vida real.

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu amb la gràfica resultant i dues conclusions pràctiques sobre l'impacte del consum fantasma i l'estalvi energètic.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul analític de límits, asímptotes, signe i estudi de la continuïtat.

• Ús correcte de GeoGebra o del full de càlcul per a l'estimació per taules i la representació.

• Rigor en la interpretació econòmica del comportament asimptòtic a partir de dades reals.