Problemas de límites y continuidad
Un límite nunca es solo una cuenta: cuando dices "la temperatura del café tiende a $22\,°C$" o "el coste medio tiende a $5\,€$ por unidad", estás usando el límite para predecir qué pasa a muy largo plazo sin tener que esperar a que ocurra. En este apartado vas a aplicar todo lo aprendido —límites, continuidad, asíntotas— a problemas con contexto real.
Límites que predicen un valor de equilibrio
Muchos fenómenos (enfriamiento, poblaciones, concentración de un fármaco) se acercan a un valor estable a largo plazo. Ese valor es, precisamente, el límite cuando la variable tiende a infinito.
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el…
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado físico de este resultado.
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo…
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?
Continuidad en modelos a trozos de la vida real
Las tarifas por tramos, los impuestos progresivos o los sueldos con comisión suelen definirse a trozos. Estudiar su continuidad detecta si hay "saltos injustos" en el modelo.
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en euros), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:…
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en euros), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudia la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indica si hay algún salto brusco en la tarifa.
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de…
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halla el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:…
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Halla los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.
La velocidad instantánea como límite de un cociente
El cociente $\dfrac{e(2+h)-e(2)}{h}$ (espacio recorrido entre dos instantes muy próximos) se parece a un $\frac00$: numerador y denominador tienden a $0$ a la vez. Simplificando antes de hacer $h\to0$, el límite revela la velocidad instantánea. Es la primera idea de derivada, que verás en el siguiente bloque.
El espacio recorrido por un móvil en metros viene dado por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante…
El espacio recorrido por un móvil en metros viene dado por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcula el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.
Límites con la indeterminación $\infty-\infty$ en contexto
Cuando dos expresiones que crecen sin límite se restan, el resultado no es evidente: hace falta transformar la expresión (conjugado, factor común) antes de tomar el límite, igual que en las sucesiones.
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite…
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de periodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $C_0 = 5000$ euros y la tasa anual es $r = 0,04$, calcula el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determina el saldo al cabo de $t = 10$ años.
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costes:…
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costes: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcula el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
Bolzano aplicado a problemas de equilibrio
Cuando un modelo mezcla dos tipos de crecimiento distintos (exponencial y polinómico, por ejemplo), Bolzano permite demostrar que existe un punto de equilibrio sin tener que resolver la ecuación.
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de euros) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costes operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es…
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de euros) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costes operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en euros ($x \ge 0$). Demuestra, justificando tu respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus beneficios $x$ (en cientos de miles de euros) se rige por la siguiente ley:…
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus beneficios $x$ (en cientos de miles de euros) se rige por la siguiente ley:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.