Monotonía y extremos de una función
Una empresa produce más lotes y, al principio, gana más dinero. Pero si produce demasiados, los costes se disparan y el beneficio empieza a bajar. Hay un punto exacto en el que el beneficio deja de crecer y empieza a decrecer: un máximo. Antes de poder encontrarlo con precisión, necesitas una forma de medir cómo cambia una función: la tasa de variación media.
La tasa de variación media
Para saber cómo cambia $f$ entre dos puntos $a$ y $b$, compara cuánto sube o baja la función con cuánto te has movido en el eje $X$.
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿puedes deducir si la función es, en…
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿puedes deducir si la función es, en promedio, creciente o decreciente en dicho intervalo?
Calcula la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento…
Calcula la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento de la función en ese intervalo?
Creciente y decreciente
El signo de la TVM te dice si la función sube o baja en promedio, pero para hablar de monotonía con rigor hace falta una definición que no dependa de "promedios": comparar la función en cualquier par de puntos del intervalo.
Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestra que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es…
Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestra que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$.
Demuestra algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es estrictamente creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, toma dos valores cualesquiera $x_1$ y…
Demuestra algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es estrictamente creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, toma dos valores cualesquiera $x_1$ y $x_2$ tales que $x_1 < x_2$ y comprueba que $f(x_1) < f(x_2)$.
Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puedes justificar tu respuesta analizando la Tasa de…
Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puedes justificar tu respuesta analizando la Tasa de Variación Media en intervalos genéricos o apoyándote en las propiedades gráficas de las hipérbolas.
Máximos y mínimos de una función
En un máximo o un mínimo, la función cambia de sentido: deja de crecer y empieza a decrecer, o al revés.
Mueve los deslizadores y observa cómo cambia el vértice:
Halla analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Halla analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Halla el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$,…
Halla el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$, calcula dicho valor máximo.
El beneficio de una empresa de componentes electrónicos, expresado en miles de euros, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, donde $x$ es el número de…
El beneficio de una empresa de componentes electrónicos, expresado en miles de euros, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, donde $x$ es el número de lotes producidos. ¿Cuántos lotes debe producir la empresa para maximizar su beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?
Funciones acotadas
Algunas funciones nunca superan un cierto valor, por mucho que avance $x$: están acotadas.
Comprueba si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúa la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a…
Comprueba si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúa la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a su izquierda y derecha, por ejemplo $x = 2,9$ y $x = 3,1$.
Demuestra que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, prueba algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple…
Demuestra que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, prueba algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple para cualquier número real $x$.
Demuestra que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcula su máximo absoluto y determina de forma exacta el intervalo en el que…
Demuestra que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcula su máximo absoluto y determina de forma exacta el intervalo en el que la función es estrictamente decreciente.