Exercicis: Monotonia i extrems d'una funció

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en l'interval $[2, 5]$. A partir del resultat, pots deduir si la funció és, de mitjana, creixent o decreixent en aquest interval?

Observa la gràfica següent d'una funció polinòmica. Identifica les coordenades dels punts $A$ i $B$, i classifica'ls com a màxims o mínims relatius. A continuació, escriu els intervals on la funció és estrictament creixent i on és estrictament decreixent.

Troba analíticament el vèrtex de la funció quadràtica $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si aquest punt correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.

Utilitzant la definició algebraica de monotonia (avaluant $f(x)$ i $f(y)$ per a dos valors arbitraris $x < y$), demostra que la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és estrictament creixent en tot el seu domini $\mathbb{R}$.

La gràfica següent representa una funció quadràtica. Determina les coordenades del seu vèrtex $V$. Es tracta d'un màxim o un mínim? És relatiu, absolut, o tots dos?

Calcula la Taxa de Variació Mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en l'interval $[1, 4]$. Què ens indica el signe del resultat sobre el comportament de la funció en aquest interval?

Es llança una pedra verticalment cap amunt. L'altura en metres que assoleix en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. Calcula l'instant en què la pedra assoleix la seva altura màxima i determina quina és aquesta altura.

Comprova si el punt $x = 3$ és un mínim local per a la funció $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Per a fer-ho, avalua la funció en el mateix punt i en dos valors molt propers a la seva esquerra i dreta, per exemple $x = 2,9$ i $x = 3,1$.

Un dron de vigilància ascendeix i descendeix verticalment. La seva alçària en metres al cap de $t$ segons ve donada per la funció $h(t) = -t^2 + 4t + 5$ durant l'interval $t \in [0, 4]$. En Mateo calcula $h(0) = 5\text{ m}$ i $h(4) = 5\text{ m}$, i a partir d'aquí obté $\text{TVM}[0, 4] = \dfrac{5 - 5}{4 - 0} = 0\text{ m/s}$. Amb aquesta dada, en Mateo afirma: «Com que la taxa de variació mitjana és 0, el dron ha romàs quiet a $5\text{ m}$ d'alçària tot el temps i la funció és constant, per la qual cosa no té màxims ni mínims en aquest interval». Localitza l'error conceptual d'en Mateo, explica què representa geomètricament la recta secant en aquest cas i troba les coordenades del vèrtex de la paràbola per demostrar raonadament què ha passat en realitat amb l'alçària del dron.

A partir dels registres d'AEMET per a una jornada serena de primavera a Sevilla, la temperatura $T(t)$ en graus Celsius entre les 8:00 i les 16:00 hores ($t \in [8, 16]$) es modelitza mitjançant la funció $T(t) = -0,5t^2 + 14t - 60$.

1. a) Abans de fer càlculs numèrics detallats, observa els coeficients de la paràbola i calcula mentalment l'hora del vèrtex. A partir d'aquesta informació, estima si la $\text{TVM}[8, 12]$ ha de ser positiva o negativa, i si esperes que l'escalfament mitjà sigui superior o inferior a $5\text{ }^\circ\text{C/h}$. Justifica la teva estimació prèvia.
2. b) Calcula amb exactitud la $\text{TVM}[8, 12]$ aplicant la seva definició. Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i redacta una conclusió interpretant el significat físic del resultat per als habitants de la ciutat.

En un cultiu de laboratori, el nombre de bacteris $N(t)$ en funció del temps $t$ (en hores) segueix la llei $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcula la Taxa de Variació Mitjana en l'interval $[1, 4]$ i interpreta el significat del resultat en el context del problema.

La gràfica següent mostra una funció definida a trossos. A partir d'aquesta, determina els intervals on la funció és creixent i decreixent. Identifica també les coordenades del mínim absolut i indica si existeix algun màxim. Cada quadrat de la quadrícula equival a $1$ unitat en tots dos eixos.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + kx + 5$ assoleixi el seu valor màxim exactament en l'abscissa $x = 4$. Un cop trobat $k$, calcula aquest valor màxim.

El benefici d'una empresa de components electrònics, expressat en milers d'euros, ve donat per la funció $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, on $x$ és el nombre de lots produïts. Quants lots ha de produir l'empresa per maximitzar el seu benefici? A quant ascendeix aquest benefici màxim?

Demostra algebraicament que la funció $f(x) = 2x^3 + 5$ és estrictament creixent per a tot $x \in \mathbb{R}$. Per fer-ho, pren dos valors qualssevol $x_1$ i $x_2$ tals que $x_1 < x_2$ i comprova que $f(x_1) < f(x_2)$.

La temperatura a l'interior d'un reactor químic durant les primeres hores d'un procés segueix la funció $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 20$, amb $t$ en hores i $T$ en graus Celsius. Determina la temperatura màxima assolida i l'interval de temps en què la temperatura del reactor està disminuint.

Calcula i compara la Taxa de Variació Mitjana de les funcions $f(x) = 3^x$ i $g(x) = 2x^2$ en l'interval $[1, 3]$. Quina de les dues funcions experimenta un creixement mitjà més gran en aquest interval?

Determina els intervals de monotonia (creixement i decreixement) de la funció racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Pots meitat/justificar la teva resposta analitzant la Taxa de Variació Mitjana en intervals genèrics o recolzant-te en les propietats gràfiques de les hipèrboles.

El consum elèctric específic d'una unitat de tren d'alta velocitat a Espanya, expressat en kWh per cada quilòmetre recorregut, depèn de la seva velocitat $v$ (mesurada en centenars de $\text{km/h}$, per al domini operatiu $v \in [1, 3]$) segons la funció quadràtica $E(v) = 4v^2 - 12v + 25$.

1. a) Justifica raonadament per què aquesta funció presenta un mínim absolut i no un màxim en el seu domini, i calcula a quina velocitat exacta (en $\text{km/h}$) es minimitza el consum per quilòmetre, així com aquest consum mínim.
2. b) Determina si la funció està fitada en l'interval tancat $[1, 3]$ indicant de manera justificada la seva fita inferior òptima i la seva fita superior òptima.
3. c) Calcula la $\text{TVM}[1; 1,5]$ i la $\text{TVM}[2; 2,5]$. Explica, atenent al signe i a la magnitud d'ambdues taxes, com varia l'eficiència del tren en circular per sota o per sobre de la seva velocitat òptima.

En una competició d'atletisme escolar, es registra la trajectòria d'un llançament de pes mitjançant una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$, on $x$ és la distància horitzontal recorreguda en metres i $f(x)$ és l'alçària en metres. Es coneixen les dades següents:

1. L'artefacte surt de la mà de l'atleta a una alçària de $2\text{ m}$ (és a dir, $f(0) = 2$).

2. En el primer tram horitzontal de dos metres, la taxa de variació mitjana és $\text{TVM}[0, 2] = 0,6$.

3. Entre els dos i els sis metres de distància horitzontal, la taxa de variació mitjana és $\text{TVM}[2, 6] = 0$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions corresponent i determina de manera raonada els coeficients $a$, $b$ i $c$.
2. b) Troba la posició horitzontal $x$ en què el pes assoleix la seva alçària màxima i calcula aquesta alçària, justificant per què es tracta d'un màxim absolut del llançament.
3. c) A partir del vèrtex obtingut, especifica els intervals on la funció és estrictament creixent i estrictament decreixent.

Un agricultor disposa de $120$ metres de tanca per tancar un hort rectangular. Un dels costats de l'hort estarà recolzat contra el mur recte d'un graner, per la qual cosa no necessitarà tanca en aquest costat. Troba les dimensions de l'hort que fan que la seva àrea sigui màxima i calcula aquesta àrea.

Es sap que una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ assoleix un màxim relatiu en el punt $(3, 10)$ i talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 1)$. Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$. Posteriorment, escriu els intervals on la funció és estrictament creixent i estrictament decreixent.

Demostra que la funció $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ té un màxim absolut a $x=0$. Per aconseguir-ho, prova algebraicament que la desigualtat $f(x) \le f(0)$ es compleix per a qualsevol nombre real $x$.

Una fàbrica ven un determinat producte a un preu unitari que depèn de la demanda, donat per la funció $p(x) = 200 - 0,5x$ (en euros), on $x$ és la quantitat d'unitats venudes. Els costos totals de producció segueixen la funció $C(x) = 50x + 2000$. Troba la funció de benefici $B(x)$, determina el nivell de producció que maximitza el benefici i calcula el benefici màxim.

La gràfica següent representa una funció racional amb una asímptota vertical i una altra d'oblíqua. Observant la gràfica, identifica les coordenades aproximades dels seus extrems relatius (màxim i mínim local). A continuació, escriu els intervals en què la funció és creixent i en què és decreixent.

Dada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$

Estudia analíticament els seus intervals de monotonia i troba les coordenades dels seus extrems relatius o absoluts. Justifica si el punt de canvi de branca ($x=4$) representa algun tipus d'extrem.

La concentració d'un medicament en sang, mesurada en mg/L, en funció de les hores transcorregudes des de la seva administració, es modelitza mitjançant la funció $C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$ per a $t \ge 0$. Observa la gràfica adjunta. Estima l'instant en què la concentració és màxima. Després, calcula la Taxa de Variació Mitjana en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 6]$ per confirmar analíticament el canvi de monotonia.

Demostra que la funció quadràtica $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ està acotada superiorment. Calcula el seu màxim absolut i determina de forma exacta l'interval en què la funció és estrictament decreixent.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}$, definida a l'interval $I = (-2, +\infty)$, es vol demostrar que és estrictament creixent en tot el seu domini. Es proposen dos procediments analítics diferents:

• Mètode 1 (Diferència directa): Prendre dos valors genèrics $x_1, x_2 \in I$ amb $x_1 < x_2$, calcular la diferència $f(x_2) - f(x_1)$, transformar-la en una única fracció simplificada i estudiar algebraicament el signe resultant del numerador i del denominador.

• Mètode 2 (Taxa de Variació Mitjana genèrica): Formar l'expressió $\text{TVM}[x_1, x_2] = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ per a $x_1 < x_2$, simplificar algebraicament la fracció dividint entre $(x_2 - x_1)$ i determinar el signe del quocient.

1. a) Aplica amb rigor ambdós mètodes desenvolupant tots els passos algebraics.
2. b) Compara els dos camins: quin d'ells connecta de manera més immediata amb el pendent de la recta secant? Presenta algun d'ells avantatges algebraics respecte de l'altre o són conceptualment equivalents? Justifica la teva resposta.
3. c) Recolzant-te en la monotonia demostrada, raona si $f$ pot tenir extrems relatius a $(-2, +\infty)$ i demostra si la funció està fitada superiorment a l'interval $[0, +\infty)$, indicant una fita superior si existeix.

El perfil d'altitud d'una etapa contrarellotge a Sierra Nevada es dissenya mitjançant una funció quadràtica $h(x) = ax^2 + bx + c$, on $x$ és la distància recorreguda en quilòmetres ($x \in [0, 10]$) i $h(x)$ és l'altitud en centenars de metres. El traçat ha de complir tres requisits:

1. La sortida ($x = 0$) se situa a $800\text{ m}$ d'altitud ($h(0) = 8$).

2. En els quatre primers quilòmetres, el pendent mitjà de pujada és de $200\text{ m/km}$ (és a dir, $\text{TVM}[0, 4] = 2$).

3. La fita superior de l'altitud en tota l'etapa s'assoleix exactament en el quilòmetre $x = 6$, i aquest punt és el cim del recorregut.

1. a) Dedueix raonadament la fórmula de $h(x)$. Justifica per què el coeficient $a$ ha de ser negatiu a partir de la condició de fita superior assolida.
2. b) Demostra, sense utilitzar derivades i emprant exclusivament la definició formal de monotonia ($x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1) > h(x_2)$), que el recorregut és estrictament decreixent en el tram final $[6, 10]$. Per a fer-ho, factoritza la diferència $h(x_2) - h(x_1)$ i analitza el signe de cada factor.
3. c) Determina raonadament si la funció està fitada a l'interval $[0, 10]$ i troba les fites inferior i superior absolutes que assoleix la cursa, indicant en quins quilòmetres es registren.