Exercicis: Continuïtat de funcions

Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en quins punts és discontínua i classifica el tipus de discontinuïtat que presenta.

Determina el domini de la funció $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ i justifica en quins intervals la funció és contínua.

Observa la representació gràfica següent d'una funció $f(x)$ i determina els punts on presenta discontinuïtats, classificant-les en evitables, de salt finit o de salt infinit.

Expressa la funció $h(x) = |x - 3|$ com una funció definida a trossos i demostra analíticament que és contínua a $x = 3$.

Donada la funció exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia la seva continuïtat en el punt $x = 1$ calculant els límits laterals.

Estudia la continuïtat de la funció logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicant clarament l'interval de nombres reals on és contínua.

La funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. Quin valor numèric hauria de prendre $f(2)$ perquè la funció sigui contínua en aquest punt?

Estudia la continuïtat de la funció trigonomètrica $g(x) = \frac{1}{\cos x}$ en l'interval obert $(0, 2\pi)$. En quins punts presenta discontinuïtats i de quin tipus són?

La Lucía intenta demostrar que la funció $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ té almenys una arrel en l'interval $[1, 3]$ aplicant el teorema de Bolzano. El seu desenvolupament és el següent: «Calculo les imatges dels extrems: $f(1) = \frac{1}{1 - 2} = -1 < 0$ i $f(3) = \frac{1}{3 - 2} = 1 > 0$. Com que els signes són oposats ($f(1) \cdot f(3) < 0$), pel teorema de Bolzano existeix necessàriament un valor $c \in (1, 3)$ tal que $f(c) = 0$».

1. a) Assenyala amb precisió l'error conceptual comès per la Lucía en la comprovació de les hipòtesis del teorema.
2. b) Estudia la continuïtat de $f(x)$ en l'interval $[1, 3]$ i classifica la discontinuïtat que presenta en aquest interval.
3. c) Resol l'equació $f(x) = 0$ a $\mathbb{R}$ i explica per què la corba passa de valors negatius a positius sense tallar mai l'eix d'abscisses.

Considera la funció $f(x) = \frac{2x^2 - 5x - 3}{x - 3}$ per a tot $x \ne 3$, a la qual s'assigna el valor puntual $f(3) = 5$.

1. a) Abans d'operar algebraicament, fes una estimació numèrica del valor al qual s'aproxima $f(x)$ quan $x$ s'acosta a $3$: avalua l'expressió a $x = 2,99$ i a $x = 3,01$. A la vista d'aquests dos valors, quin estimes que és el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$?
2. b) Calcula analíticament $\lim_{x \to 3} f(x)$ descomponent en factors el numerador i comprova si la teva estimació prèvia era correcta.
3. c) A partir del límit obtingut i del valor definit $f(3) = 5$, determina si $f$ és contínua a $x = 3$. Si no ho és, classifica el tipus de discontinuïtat i indica quin valor s'hauria d'haver assignat a $f(3)$ perquè la funció resultés contínua a tot $\mathbb{R}$.

La tarifa d'un aparcament públic es calcula mitjançant la funció $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, on $t$ és el temps en hores i $\text{ENT}(t)$ representa la funció part entera de $t$.

Identifica els punts de discontinuïtat d'aquesta funció en l'interval $(0, 4)$ i explica el significat real d'aquestes discontinuïtats per a un usuari de l'aparcament.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Demostra, utilitzant el teorema de Bolzano, que l'equació $x^3 + 2x - 4 = 0$ té almenys una solució real en l'interval $(1, 2)$. Justifica totes les condicions necessàries per aplicar el teorema.

La temperatura d'un forn industrial en graus Celsius, $T(t)$, en funció del temps en minuts $t$, ve donada per:

$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0,9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$

Determina el valor de $k$ perquè no hi hagi cap salt brusc de temperatura als 10 minuts. Quin fenomen físic representa la funció a partir de $t = 10$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El gràfic següent il·lustra el principi del teorema de Bolzano per a una funció polinòmica contínua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observant la gràfica i avaluant la funció, troba un interval de longitud 1 (és a dir, $[n, n+1]$ amb $n \in \mathbb{Z}$) on es pugui garantir l'existència d'una arrel real, justificant la teva resposta.

Una companyia de telefonia mòbil ofereix una tarifa de dades amb les condicions següents: es paga una quota fixa de $10$ € que inclou els primers $5$ GB. Per cada GB addicional fins a arribar als $20$ GB, es paguen $2$ €. A partir dels $20$ GB, el preu segueix l'expressió $a + 1,5x$, on $x$ és el total de GB consumits.

Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la funció que representa el cost total sigui contínua en tot moment i escriu l'expressió analítica completa d'aquesta funció.

Estudia detalladament la continuïtat de la funció racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - x - 6}$. Classifica els tipus de discontinuïtat que presenta en els punts on no està definida.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$, calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la discontinuïtat a $x = 2$ sigui evitable. Una vegada trobat, quin serà el valor del límit de la funció en aquest punt?

Donada la funció amb valor absolut $f(x) = \frac{x^2-9}{|x-3|}$, reescriu-la com una funció definida a trossos i classifica el tipus de discontinuïtat que presenta a $x=3$.

Analitza la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x}{1-e^{1/x}}$ en el punt $x=0$. Calcula els límits laterals i determina si la discontinuïtat és evitable o de salt.

En una ciutat espanyola, el servei d'estacionament regulat en via pública (zona blava) aplica la següent estructura tarifària durant les dues primeres hores d'aparcament:

• Fins a 30 minuts (inclosos): $0,60$ €.

• Més de 30 i fins a 60 minuts (inclosos): $1,30$ €.

• Més de 60 i fins a 90 minuts (inclosos): $2,10$ €.

• Més de 90 i fins a 120 minuts (inclosos): $3,00$ €.

Sigui $P(t)$ la funció que descriu el preu a pagar en euros segons el temps transcorregut $t$, mesurat en minuts, per a $t \in (0, 120]$.

1. a) Escriu l'expressió analítica de la funció a trossos $P(t)$.
2. b) Estudia analíticament la continuïtat de $P(t)$ en el punt $t = 60$: calcula $\lim_{t \to 60^-} P(t)$, $\lim_{t \to 60^+} P(t)$ i $P(60)$, i classifica la discontinuïtat indicant la magnitud del salt.
3. c) Interpreta el significat pràctic d'aquesta discontinuïtat per a un conductor que retira el seu vehicle exactament al minut $60$ enfront d'un altre que arriba al minut $60,1$ ($60$ minuts i $6$ segons).

Construeix l'expressió analítica d'una funció $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida a trossos que satisfaci simultàniament les quatre condicions següents:

1. És contínua a tot $\mathbb{R}$ tret de a $x = -2$ i a $x = 3$.

2. A $x = -2$ presenta una discontinuïtat evitable, complint que $\lim_{x \to -2} f(x) = 4$, però amb $f(-2) = 0$.

3. A $x = 3$ presenta una discontinuïtat de salt finit, de manera que el salt entre les branques sigui exactament de $5$ unitats; és a dir, $|\lim_{x \to 3^+} f(x) - \lim_{x \to 3^-} f(x)| = 5$.

4. Els dos trams que conflueixen a $x = 3$ estan formats per rectes (funcions polinòmiques de grau 1).

Escriu la fórmula completa de $f(x)$ indicant els intervals de definició i demostra formalment, calculant els límits laterals i el valor de la funció a cada punt conflictiu, que es verifiquen totes les condicions exigides.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$

Sigui $f$ una funció contínua en l'interval tancat $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ per a tot $x \in [0, 1]$. Demostra, recolzant-te en el teorema de Bolzano, que existeix almenys un punt $c \in [0, 1]$ en el qual la gràfica de la funció talla la paràbola $y = x^2$, és a dir, demostra que $f(c) = c^2$. (Pista: Defineix una funció auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).

Per al disseny d'una muntanya russa, cal empalmar dos trams de via. El perfil de la muntanya russa ve donat per la funció definida a trossos següent, on $x$ és la distància horitzontal en metres:

$f(x) = \begin{cases} \frac{100}{x + 10} + a & \text{si } 0 \le x < 10 \\ bx^2 - 2x + 15 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$

Sabent que el disseny exigeix que la via sigui contínua en el punt d'empalmament $x = 10$, i que el Tram 1 parteix d'una alçària de $15\text{ m}$ a $x = 0$, calcula els valors de $a$ i $b$.

Discuteix la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - mx + 4}$ en funció dels possibles valors del paràmetre real $m$. Para especial atenció als casos en què el denominador té arrels que coincideixen amb les del numerador.

Donades les funcions $g(x) = \frac{1}{x - 2}$ i $h(x) = \sqrt{x + 1}$, obtén l'expressió analítica de la funció composta $f(x) = g(h(x))$ i estudia exhaustivament la seva continuïtat, indicant el seu domini i el tipus de discontinuïtats que presenta.

La capacitat calorífica específica $C_p(T)$ d'un material experimenta una transició de fase a una temperatura crítica $T_c = 100$ K. El model termodinàmic proposat és:

$C_p(T) = \begin{cases} \frac{500}{\sqrt{120-T}} & \text{si } T < 100 \\ 200 \ln(T-99) + k & \text{si } T \ge 100 \end{cases}$

Calcula el valor de $k$ sabent que durant la transició de fase es produeix una discontinuïtat de salt finit (calor latent) tal que $\lim_{T \to 100^+} C_p(T) - \lim_{T \to 100^-} C_p(T) = 80$.

Troba els valors de $a, b$ i $c$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2-4}$ compleixi simultàniament les condicions següents:

1. Té una discontinuïtat evitable a $x=2$.

2. Té una asímptota vertical a $x=-2$.

3. El seu límit quan $x \to \infty$ és $3$.

4. Talla l'eix d'ordenades a $y = -1,5$.

Estudia detalladament la continuïtat de la funció $f(x) = e^{\frac{1}{|x|-1}}$. Determina el seu domini, calcula els límits en els punts conflictius i classifica rigorosament el tipus de discontinuïtat que presenta en cadascun d'ells.

El senyal de voltatge en un oscil·loscopi mostra una ona esmorteïda que de sobte s'estabilitza a causa de l'acció d'un díode de tall a $t = t_c$.

El model analític per a $t \ge 0$ és:

$V(t) = \begin{cases} e^{-0,5t} \cos(2\pi t) & \text{si } 0 \le t < t_c \\ C & \text{si } t \ge t_c \end{cases}$

Sabent que el tall es produeix exactament en el quart cicle complet de l'ona cosinus ($t_c = 4$), demostra analíticament que la funció és contínua en aquest punt calculant el valor exacte que ha de tenir la constant $C$.

Es vol determinar de manera rigorosa si l'equació cúbica $x^3 - 3x + 1 = 0$ té almenys una arrel real situada en l'interval obert $(0, 1)$. Dos estudiants plantegen camins diferents:

• Mètode 1 (Marcos): Pretén resoldre l'equació de manera exacta buscant arrels primeres o racionals amb la regla de Ruffini entre els divisors del terme independent ($\pm 1$), per després factoritzar i aïllar la incògnita.

• Mètode 2 (Sara): Defineix la funció auxiliar $f(x) = x^3 - 3x + 1$ i planteja verificar les hipòtesis del teorema de Bolzano en l'interval tancat $[0, 1]$ per deduir l'existència de la solució.

1. a) Desenvolupa l'intent d'en Marcos (Mètode 1). Aconsegueix factoritzar el polinomi mitjançant Ruffini? Explica la limitació dels mètodes algebraics elementals davant d'aquest tipus d'equacions.
2. b) Desenvolupa el procediment de la Sara (Mètode 2): enuncia les hipòtesis requerides pel teorema de Bolzano, comprova de manera rigorosa si es compleixen per a $f(x)$ a $[0, 1]$ i dedueix la conclusió final.
3. c) Avalua tots dos mètodes: justifica quin d'ells respon de manera eficaç a l'objectiu proposat i reflexiona sobre el paper que compleix el teorema de Bolzano en l'anàlisi matemàtica quan no es disposa de solucions algebraiques exactes.

Durant un episodi d'inversió tèrmica hivernal registrat per l'AEMET a l'altiplà nord peninsular, la temperatura de l'aire $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) segons l'altitud $h$ (mesurada en centenars de metres, amb $h \ge 0$) es descriu mitjançant el model següent:

on $a$ i $b$ són paràmetres reals fixats per les condicions atmosfèriques.

1. a) Perquè el model respongui a un fenomen físic real, la temperatura no pot presentar discontinuïtats brusques a la capa d'inversió ($h = 4$). Dedueix l'equació algebraica que han de complir $a$ i $b$ per assegurar que $T(h)$ sigui contínua a $h = 4$.
2. b) Sabent que a nivell del terra ($h = 0$) la temperatura és de $-3\ ^{\circ}\text{C}$ i que a $900\text{ m}$ d'altitud ($h = 9$) el termòmetre marca $1,5\ ^{\circ}\text{C}$, calcula els valors numèrics d'$a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini $[0, +\infty)$.
3. c) Amb els valors trobats, utilitza el teorema de Bolzano per justificar si existeix almenys una altitud dins del tram $[0, 4]$ en la qual la temperatura sigui exactament de $0\ ^{\circ}\text{C}$ (cota de gelada). A continuació, raona si hauria estat legítim aplicar el teorema de Bolzano directament a l'interval global $[0, 9]$ en cas que els valors d'$a$ i $b$ no haguessin garantit la continuïtat a $h = 4$.