Continuidad de funciones
Cuando subes una cuesta, tu altura cambia sin saltos: en cada instante hay una altura, y un instante después tienes casi la misma. Pero el precio de un aparcamiento por horas sí da saltos: a las $2{,}99$ horas pagas una tarifa y a las $3{,}00$ horas, de golpe, otra mayor. La primera situación es continua; la segunda, no. En este apartado vas a convertir esa intuición en un criterio preciso, usando los límites que ya conoces.
Continuidad en un punto
Una función es continua en $x=a$ si su gráfica no se rompe ahí: el valor al que "se acerca" la función por los dos lados coincide con el valor que realmente toma en $a$.
Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.
Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.
Estudia la continuidad de la función logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicando claramente el intervalo de números reales donde es continua.
Estudia la continuidad de la función logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicando claramente el intervalo de números reales donde es continua.
Tipos de discontinuidad
Cuando falla alguna de las tres condiciones, la función es discontinua en ese punto. Estudiaremos tres tipos habituales. No agotan todos los casos: $\sin(1/x)$ oscila sin límite cuando $x\to0$ y su discontinuidad no es de estos tres tipos.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.
Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o…
Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o de salto infinito.
La función racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. ¿Qué valor numérico debería tomar $f(2)$ para que la función sea continua en dicho…
La función racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. ¿Qué valor numérico debería tomar $f(2)$ para que la función sea continua en dicho punto?
Continuidad de funciones a trozos
Si cada expresión es continua en su tramo, solo hay que comprobar además los puntos de empalme. Si no, también hay que estudiar las discontinuidades interiores de cada expresión. Ahí hay que comparar los límites laterales.
La tarifa de un aparcamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la…
La tarifa de un aparcamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la función parte entera de $t$.
Identifica los puntos de discontinuidad de esta función en el intervalo $(0, 4)$ y explica el significado real de estas discontinuidades para un usuario del aparcamiento.
La temperatura de un horno industrial en grados Celsius, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:…
La temperatura de un horno industrial en grados Celsius, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:
$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0,9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$
Determina el valor de $k$ para que no haya un salto brusco de temperatura a los 10 minutos. ¿Qué fenómeno físico representa la función a partir de $t = 10$?
Buscar parámetros para que una función a trozos sea continua
El problema más típico: dado un parámetro desconocido en una de las expresiones, hallar el valor que hace que no haya salto.
Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos con las siguientes condiciones: se paga una cuota fija de $10$ € que incluye los primeros $5$ GB. Por cada GB…
Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos con las siguientes condiciones: se paga una cuota fija de $10$ € que incluye los primeros $5$ GB. Por cada GB adicional hasta llegar a los $20$ GB, se pagan $2$ €. A partir de los $20$ GB, el precio sigue la expresión $a + 1,5x$, donde $x$ es el total de GB consumidos.
Halla el valor del parámetro $a$ para que la función que representa el coste total sea continua en todo momento y escribe la expresión analítica completa de dicha función.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$
El Teorema de Bolzano
Si una función continua pasa de valores negativos a positivos (o al revés) en un intervalo, es porque en algún punto intermedio tuvo que cruzar el cero. La continuidad —sin saltos— garantiza que no puede "pasar por encima" sin tocar el eje.
Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las…
Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema.
El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la…
El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la función, encuentra un intervalo de longitud 1 (es decir, $[n, n+1]$ con $n \in \mathbb{Z}$) donde se pueda garantizar la existencia de una raíz real, justificando tu respuesta.
Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que…
Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ en el que la gráfica de la función interseca a la parábola $y = x^2$, es decir, demuestra que $f(c) = c^2$. (Pista: Define una función auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).