Exercicis: Inequacions de segon grau

Resol la inequació de segon grau següent i expressa la solució en forma d'interval:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Troba el conjunt de solucions de la inequació:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Resol la inequació incompleta:

$2x^2 - 8x \le 0$

Determina els valors de $x$ que verifiquen la desigualtat següent:

$3x^2 - 27 < 0$

Troba el conjunt solució de la inequació:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Indica el conjunt solució de la inequació, raonant la teva resposta:

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Resol el sistema següent d'inequacions de segon grau amb una incògnita:

$x^2 - 4 \le 0$

$x^2 - x \ge 0$

Determina per a quins valors de $x$ es compleix la desigualtat següent:

$4x^2 - 12x + 9 > 0$

Per resoldre la inequació quadràtica $x^2 \ge 6x$, en Marcos escriu al seu examen el següent raonament:

«Divideixo tots dos membres entre $x$ i obtinc $x \ge 6$. Per tant, el conjunt de solucions és l'interval $[6, +\infty)$».

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual comès per en Marcos. Per què no està permès dividir una inequació entre una incògnita sense conèixer prèviament el seu signe?
2. b) Corregeix l'exercici resolent la inequació pel procediment general (passar-ho tot al membre esquerre, trobar les arrels i estudiar el signe en els trams resultants) i expressa el conjunt solució correcte en forma d'interval.

Construeix una inequació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c < 0$ que compleixi simultàniament dues condicions:

1) El seu conjunt de solucions és exactament l'interval obert $(-4, 1)$.

2) El coeficient principal és $a = 2$.

1. a) Determina raonadament els valors numèrics dels coeficients $b$ i $c$.
2. b) Explica, utilitzant el signe de $a$ i la forma de la paràbola associada, per què el polinomi resultant pren valors estrictament negatius únicament en el tram interior comprès entre totes dues arrels i no cap a l'exterior.

L'altura $h$ en metres d'un projectil llançat verticalment cap amunt en funció del temps $t$ en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Planteja i resol la inequació corresponent per determinar durant quin interval de temps el projectil es troba a una altura estrictament superior a $17$ metres.

El benefici diari d'una empresa, expressat en centenars d'euros, en fabricar $x$ unitats d'un producte es modelitza mitjançant la funció quadràtica $B(x) = -0,5x^2 + 40x - 350$. Quantes unitats ha de fabricar diàriament per no tenir pèrdues? Expressa el resultat en forma d'interval.

Es disposa d'una corda de $40$ metres per tancar un hort rectangular aprofitant un mur ja existent com un dels costats. Si $x$ és la longitud dels costats perpendiculars al mur, per a quins valors de $x$ l'àrea tancada serà de com a mínim $150 \text{ m}^2$? Tingues en compte que les dimensions de l'hort han de ser positives.

Resol la inequació següent operant prèviament per reduir-la a la seva forma general i expressa el resultat en forma d'interval:

$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$

A partir de la representació gràfica de la paràbola $y = f(x)$, determina visualment el conjunt de solucions de la inequació $f(x) \le 0$.

Troba el domini de definició de la funció real de variable real següent:

$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$

L'àrea de la zona central rectangular d'una pista esportiva ha de ser estrictament menor que $800 \text{ m}^2$. Si la longitud de la pista és el doble de la seva amplada $x$ més $10$ metres, planteja la inequació corresponent i dedueix quins valors pot prendre l'amplada de la pista.

Resol el sistema d'inequacions següent i dona la solució final en forma d'interval:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$2x + 5 \ge 1$

Es proposa resoldre a classe la inequació quadràtica $4x^2 - 12x + 9 \le 0$. Dos estudiants trien estratègies diferents:

• Mètode 1 (Marcos): Aplica la fórmula general de segon grau, comprova que el discriminant és zero, troba l'arrel doble $x = 1,5$, divideix la recta real en dos intervals a esquerra i dreta d'$1,5$ i avalua un nombre de prova en cadascun per deduir-ne el signe.

• Mètode 2 (Sara): Reconeix immediatament que el polinomi és la identitat notable $(2x - 3)^2$ i dedueix la solució directament raonant sobre les propietats dels quadrats en els nombres reals.

1. a) Explica com dedueix la Sara la solució a partir del producte notable sense necessitat de provar cap valor numèric.
2. b) Compara l'eficàcia de tots dos mètodes i justifica quin és més avantatjós en aquest cas.
3. c) Què hauria passat si la inequació inicial hagués estat $4x^2 - 12x + 9 < 0$? I si hagués estat $4x^2 - 12x + 9 > 0$? Escriu la solució de cadascun d'aquests dos nous casos justificant la teva resposta.

Durant una onada de fred a la província de Teruel, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra que la temperatura $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) al llarg d'un dia d'hivern depèn de l'hora solar $t$ (amb $t \in [0, 24]$ mesurat en hores des de les 00:00) segons la funció quadràtica:

Per evitar que es congelin les canonades d'aigua d'una explotació ramadera, el sistema automàtic de calefacció s'ha d'activar mentre la temperatura sigui estrictament negativa ($T(t) < 0$).

1. a) Planteja la inequació quadràtica corresponent i resol-la analíticament trobant les arrels i elaborant la taula de signes.
2. b) Expressa la solució en forma d'interval respectant el domini temporal del dia, $[0, 24]$.
3. c) Interpreta el resultat obtingut indicant amb precisió en quins trams horaris del dia romandrà encesa la calefacció.

Determina per a quins valors del paràmetre $m$ la inequació quadràtica $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ es verifica per a qualsevol nombre real $x$.

La població de certa espècie invasora en un llac, mesurada en milers d'individus, segueix el model $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, on $t$ és el temps en mesos des que es va detectar la invasió. Les autoritats decideixen intervenir quan la població supera els $14.000$ individus. Tanmateix, el tractament ecològic només és efectiu si es pot aplicar durant com a mínim $3$ mesos consecutius en què la població es mantingui per sobre d'aquest llindar. Planteja la inequació i determina si serà possible aplicar el tractament amb èxit segons aquest model.

Es vol construir una safata sense tapa a partir d'una làmina rectangular d'alumini de $30 \times 20 \text{ cm}$, retallant quadrats idèntics de costat $x$ a les quatre cantonades i plegant les pestanyes resultants cap amunt. Si per requisits de disseny cal que l'àrea de la base de la safata sigui de com a mínim $200 \text{ cm}^2$, planteja i resol la inequació corresponent per trobar l'interval de possibles valors de $x$.

Resol la inequació biquadrada següent mitjançant un canvi de variable i expressa la solució final com a unió d'intervals:

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$

El cable principal de suspensió d'un pont adopta la forma d'una paràbola. Prenent com a origen de coordenades el punt més baix del cable, l'altura $y$ (en metres) del cable respecte de la calçada a una distància horitzontal $x$ (en metres) del centre ve donada per la funció $y = 0,005x^2 + 2$. Per raons de seguretat aeronàutica, s'han d'instal·lar llums de gàlib en els trams del cable l'altura dels quals respecte de la calçada estigui compresa entre $10 \text{ m}$ i $22 \text{ m}$. Planteja el sistema d'inequacions i calcula en quins intervals de distància horitzontal des del centre s'instal·laran aquests llums.

Resol la inequació amb valor absolut transformant-la prèviament en un sistema d'inequacions de segon grau:

$|x^2 - 4x| \le 5$

Troba el domini de definició de la funció següent, que combina restriccions de radicands i denominadors:

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$

Donades les funcions quadràtiques $f(x) = x^2 - 2x - 3$ i $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticament en quin interval de la recta real es compleix que $f(x) < g(x)$. Basant-te en la gràfica adjunta que representa totes dues funcions i l'àrea compresa entre elles, comprova la coherència del teu resultat.

Considera la inequació quadràtica $(2x - 1)^2 < 3x + 14$.

1. a) Estima: Abans de realitzar qualsevol transformació algebraica, avalua mentalment tots dos membres de la desigualtat en els nombres enters $x = -2$, $x = -1$, $x = 2$ i $x = 3$. Amb aquestes dades, dedueix entre quins dos enters consecutius s'ha de trobar l'arrel menor i entre quins dos enters consecutius s'ha de trobar l'arrel major. A partir d'això, aventura una estimació raonada de l'interval solució.
2. b) Resol: Passa tots els termes al membre esquerre, redueix el polinomi a la forma $ax^2 + bx + c < 0$, calcula les seves arrels exactes mitjançant la fórmula quadràtica i determina el conjunt solució analíticament mitjançant una taula de signes.
3. c) Comprova: Utilitza l'aproximació $\sqrt{257} \approx 16,03$ per expressar els extrems de l'interval en forma decimal i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era coherent. Finalment, explica basant-te en la continuïtat de les funcions polinòmiques per què el signe del polinomi quadràtic no pot canviar en cap punt intermedi entre les dues arrels calculades.

Es vol determinar de manera unívoca els coeficients d'una inequació quadràtica de la forma $ax^2 + bx + c \le 0$ a partir de la informació següent sobre el polinomi $P(x) = ax^2 + bx + c$:

1) El conjunt solució de la inequació $P(x) \le 0$ és exactament l'interval tancat $[-1, 5]$.

2) El vèrtex de la paràbola associada a $P(x)$ assoleix un valor mínim absolut igual a $-18$.

1. a) Justifica raonadament el signe del coeficient principal $a$ a partir de la geometria de la paràbola i del fet que la solució sigui un únic interval fitat i no la unió de dues semirectes disjuntes.
2. b) Troba els valors numèrics exactes d'$a$, $b$ i $c$.
3. c) Sense fer càlculs algebraics addicionals ni confeccionar noves taules de signes, dedueix justificadament el conjunt de solucions de les tres inequacions següents:

• $ax^2 + bx + c < -18$

• $ax^2 + bx + c \ge -18$

• $ax^2 + bx + c > 0$