Exercicis: Inequacions amb valor absolut

Resol la inequació $|x - 5| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval.

Troba tots els nombres reals $x$ que satisfan la desigualtat $|2x + 4| \geq 8$.

Expressa mitjançant una inequació amb valor absolut el següent enunciat: "La distància entre un nombre $x$ i $7$ és estrictament menor que $4$". A continuació, determina el conjunt de solucions.

Resol la inequació següent amb valor absolut: $|3x - 1| \leq 5$.

Determina el conjunt solució de la inequació $|-x + 6| > 2$.

Resol la inequació $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.

Justifica si les inequacions següents tenen solució en el conjunt dels nombres reals i, en cas afirmatiu, troba-la:

1. a) $|x + 4| \leq 0$
2. b) $|2x - 5| < -1$

Resol la desigualtat $5 - |x - 2| > 1$.

Una empresa de transport de medicaments termolàbils a Espanya ha de mantenir la seva furgoneta refrigerada dins del rang de temperatures $[-2\text{ }^\circ\text{C}, 6\text{ }^\circ\text{C}]$ per no trencar la cadena de fred.

1. a) Escriu una inequació amb valor absolut de la forma $|T - T_0| \leq k$ que modeli exactament aquest interval admissible de temperatures, identificant què representen geomètricament $T_0$ (temperatura central) i $k$ (marge de tolerància) a la recta real.
2. b) Si per una avaria puntual al termòstat la sonda registra una temperatura de $7,2\text{ }^\circ\text{C}$, comprova analíticament si es compleix la inequació i calcula la distància a la qual es troba respecte de la temperatura òptima $T_0$.

En Marcos ha de resoldre en un examen la inequació $|3x - 9| \leq -3$ i lliura el desenvolupament següent:

«$-(-3) \leq 3x - 9 \leq -3 \implies 3 \leq 3x - 9 \leq -3$. Sumo 9 a tots els membres: $12 \leq 3x \leq 6$. Divideixo entre 3: $4 \leq x \leq 2$. Per tant, la solució són els nombres entre 4 i 2».

1. a) Assenyala dos errors conceptuals greus que comet en Marcos: un en la seva interpretació inicial del valor absolut davant de nombres negatius i un altre en el significat de la cadena de desigualtats obtinguda.
2. b) Sense realitzar cap càlcul algebraic addicional, dedueix quin és el veritable conjunt solució de la inequació i justifica la teva resposta a partir de la definició de valor absolut com a distància a la recta real.

En una fàbrica de components electrònics, la longitud ideal d'un xip és de $12,5$ mm. Per qüestions de control de qualitat, s'accepta un marge d'error màxim de $0,15$ mm. Escriu una inequació amb valor absolut que modeli aquesta situació per a la longitud $L$ del xip i resol per trobar l'interval de longituds acceptables.

Resol la inequació quadràtica amb valor absolut $|x^2 - 5| < 4$.

Troba els valors de $x$ que satisfan la inequació $|2x - 3| < x + 1$.

Resol el sistema d'inequacions lineals següent amb valor absolut:

El pH d'una piscina s'ha de mantenir en un nivell òptim de $7,4$. Perquè l'aigua sigui apta per al bany, la diferència absoluta entre el pH actual i l'òptim no ha de superar el $5\%$ del valor òptim. Planteja la inequació amb valor absolut corresponent i determina el rang de pH permès.

Resol la inequació racional amb valor absolut $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.

Troba el conjunt solució de la inequació $|x - 2| < |x + 4|$ interpretant geomètricament el valor absolut com la distància entre punts en la recta real.

La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'un forn industrial oscil·la durant el seu funcionament de manera que $|2T - 300| \leq 50$. Si per raons de seguretat en el procés de fosa la temperatura no pot baixar de $130^\circ$C en cap moment, comprova matemàticament si el forn compleix la normativa de seguretat garantida per la seva oscil·lació.

Segons dades agronòmiques de l'AEMET aplicades a la província de Jaén, la floració òptima de l'olivera durant la primavera requereix que la temperatura mitjana diària $T$ (en $^\circ\text{C}$) compleixi $|T - 18| \leq 4$. Paral·lelament, els tècnics alerten que una plaga endèmica prolifera amb rapidesa únicament si la temperatura ambiental satisfà la condició $|2T - 30| \geq 12$.

1. a) Resol totes dues inequacions de forma analítica i expressa les seves solucions en forma d'intervals.
2. b) Determina l'interval de temperatures en el qual l'olivera es troba en condicions òptimes de floració i, al mateix temps, hi ha risc de desenvolupament de la plaga.
3. c) Si durant una setmana atípica d'abril es registra una temperatura mitjana constant de $13,5\text{ }^\circ\text{C}$, raona si l'agricultor s'ha de preocupar per la floració, per la plaga o per cap de les dues.

Considera la inequació amb valor absolut $|2x - 5| \leq x + 1$.

1. a) Estima: Abans d'aplicar tècniques algebraiques, analitza el signe del membre de la dreta ($x + 1$): quina condició mínima ha de complir $x$ perquè la inequació pugui tenir solució? A partir d'aquesta cota i avaluant mentalment alguns nombres enters senzills ($x = 0, 1, 2, 3, 5, 7$), estima entre quins dos enters es trobarà l'interval de solucions.
2. b) Calcula: Resol la inequació transformant-la en la doble desigualtat corresponent i escriu l'interval exacte de la solució.
3. c) Comprova: Contrasta l'interval obtingut amb la teva estimació inicial. Hi són a dins els enters que havies previst? Comprova a més què passa numèricament en els dos extrems de l'interval.

Resol la inequació $|x^2 - 4x| > 3x$. Expressa la solució en forma d'unió d'intervals.

Determina per a quins valors del paràmetre real $k$ el conjunt solució de la inequació $|x - k| \leq 3$ està estrictament contingut en l'interval $[-1, 8]$.

Resol el sistema d'inequacions combinades següent:

Troba el conjunt de solucions de la inequació $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.

La figura mostra la gràfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en blau) i la recta $y = 6$ (en verd). Pots fer-la servir per comprovar el resultat que obtinguis de manera algebraica.

La celeritat d'un vehicle en un instant $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durant quin interval de temps la celeritat del vehicle és estrictament menor que $6$ m/s i calcula la distància total recorreguda en aquest interval considerant que el vehicle es mou en línia recta.

Resol la inequació racional amb valor absolut $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.

Considera la inequació $|x^2 - a^2| \leq a^2$, on $a > 0$ és un paràmetre real constant. Expressa el conjunt solució d'aquesta inequació en funció del paràmetre $a$.

En un estudi d'òptica i refracció, la desviació d'un feix de llum respecte de la seva trajectòria ideal ve donada per la funció $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resol la inequació $|d(x)| \leq 1$ per trobar els valors de $x$ on la desviació es manté dins dels marges tolerables per l'instrument.

Per resoldre la inequació $|x^2 - 2x| \leq |x|$, dos alumnes proposen camins diferents:

• Alba: Eleva tots dos membres al quadrat aprofitant que tots dos són no negatius, $(x^2 - 2x)^2 \leq x^2$, i resol la inequació polinòmica resultant passant-ho tot al primer membre i factoritzant per diferència de quadrats.

• Bruno: Aplica la propietat $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ al membre esquerre per extreure el factor $|x|$, analitza de forma aïllada què passa si $x = 0$ i, assumint $x \neq 0$, divideix tots dos membres entre $|x|$ per resoldre una inequació lineal amb valor absolut molt més simple.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes fins a trobar el conjunt solució.
2. b) Compara els dos procediments: quin consideres més eficient i menys propens a errors de càlcul? Justifica la teva resposta.
3. c) Raona per què el mètode d'elevar al quadrat de l'Alba és matemàticament lícit en aquesta inequació, però resultaria invàlid o generaria solucions falses si la inequació inicial hagués estat $|x^2 - 2x| \leq x$.

Considera la família d'inequacions dependents del paràmetre real $m$ donada per:

1. a) Basant-te en la interpretació geomètrica del valor absolut com a distància entre punts de la recta real, explica el significat de la suma $|x - 3| + |x + 1|$ i demostra raonadament que el seu valor mínim per a qualsevol $x \in \mathbb{R}$ és 4.
2. b) A partir del raonament anterior, determina justificadament per a quins valors de $m$ la inequació:

1. No té cap solució real.

2. Té com a solució un únic punt (si consideres que ésRetail impossible per a qualsevol $m$, justifica per què).

3. Té com a solució exactament l'interval $[-1, 3]$.

1. c) Si fixem $m = 8$, dedueix la longitud i els extrems de l'interval solució recolzant-te exclusivament en la simetria respecte al punt mitjà del segment $[-1, 3]$ i en les distàncies, sense plantejar taules de signes ni descompondre en tres trams.