Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto $|x-a|$ mide la distancia entre $x$ y $a$ en la recta real, sin importar hacia qué lado. Esa idea geométrica es la llave de todo el apartado: convierte cualquier inecuación con valor absoluto en una (o dos) desigualdades normales.
El valor absoluto como distancia
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Casos sin solución o con solución toda la recta
Como $|x|\geq0$ siempre, hay inecuaciones con valor absoluto que no necesitan ningún cálculo: se resuelven solo razonando sobre el signo.
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala: a) $|x + 4| \leq 0$ b) $|2x - 5| < -1$
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala:
- a) $|x + 4| \leq 0$
- b) $|2x - 5| < -1$
Tolerancias y márgenes de error
El contexto más habitual del valor absoluto en la vida real es una tolerancia: una medida que debe estar cerca de un valor ideal, con un margen de error máximo.
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12,5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de…
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12,5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de $0,15$ mm. Escribe una inecuación con valor absoluto que modele esta situación para la longitud $L$ del chip y resuelve para encontrar el intervalo de longitudes aceptables.
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7,4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe…
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7,4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe superar el $5\%$ del valor óptimo. Plantea la inecuación con valor absoluto correspondiente y determina el rango de pH permitido.
Valor absoluto sobre expresiones cuadráticas, racionales o con otro valor absoluto
Cuando dentro del valor absoluto hay una expresión cuadrática o racional, o hay un valor absoluto en los dos miembros, el método no cambia: se traduce a una doble desigualdad o a dos tramos, y luego se resuelve esa inecuación (que ya puede ser de segundo grado o racional) con las técnicas de los apartados anteriores.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.