Exercicis: Equacions racionals

Resol la següent equació racional, indicant clarament les seves solucions vàlides:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Troba els valors de $x$ que verifiquen la següent igualtat:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Determina la solució de l'equació, tenint en compte els valors que anul·len els denominadors:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Calcula els valors reals de $x$ per als quals es compleix la següent expressió:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Resol l'equació racional reduint prèviament a comú denominador:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$

Troba les solucions de la següent equació:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Determina el nombre real $x$ que satisfà la igualtat entre aquestes dues fraccions algebraiques:

$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$

Resol la següent equació racional:

$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$

Marcos ha de resoldre a classe la següent equació racional:

Al seu quadern escriu els passos següents:

1. Factoritza el denominador de la dreta: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.

2. Multiplica tota l'equació per $(x-3)(x+1)$ i simplifica: $x(x+1) - 3(x-3) = 12$.

3. Desenvolupa i redueix termes: $x^2 + x - 3x + 9 = 12 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.

4. Aplica la fórmula quadràtica i obté $x = 3$ i $x = -1$.

5. Conclou: «L'equació té dues solucions reals: $x_1 = 3$ i $x_2 = -1$».

Identifica l'error conceptual comès per Marcos, explica amb rigor matemàtic per què la seva conclusió final és falsa comprovant què passa en substituir aquests valors en l'equació original i determina quin és el veritable conjunt de solucions.

Per resoldre l'equació racional:

dos alumnes proposen estratègies diferents abans d'operar:

• L'Alba proposa multiplicar directament cada terme pel producte dels dos denominadors visibles, $(x-1)\cdot(x^2-1)$, per no haver de factoritzar.

• En Mateo insisteix que primer s'ha de factoritzar $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ per multiplicar tota l'equació únicament pel mínim comú múltiple, $(x-1)(x+1)$.

Compara els dos camins: justifica quins inconvenients algebraics (grau de l'equació resultant, volum de càlcul i possible aparició de solucions estranyes) presenta la proposta de l'Alba enfront de la d'en Mateo. Després, resol l'equació aplicant el mètode òptim, indicant les restriccions inicials del domini i verificant la validesa de les solucions obtingudes.

Resol l'equació racional factoritzant prèviament els denominadors per trobar el mínim comú múltiple:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Dues impressores 3D treballant juntes triguen $6$ hores a fabricar un lot complet de peces per a un projecte d'enginyeria. Si treballessin per separat, la impressora A trigaria $5$ hores menys que la impressora B a completar el mateix lot. Planteja una equació racional i determina quant de temps trigaria la impressora A treballant sola.

Un tren de mercaderies ha de recórrer una distància de $300\text{ km}$. Si augmentés la seva velocitat mitjana en $10\text{ km/h}$, trigaria $1$ hora menys a realitzar el trajecte complet. Planteja una equació racional i calcula la velocitat mitjana a la qual circula el tren inicialment.

Troba les solucions de la següent equació, descartant aquelles que resultin ser falses (solucions estranyes):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Un grup d'estudiants lloga un autobús per a una excursió per un preu total de $400\text{ \euro}$. A última hora s'hi apunten $5$ estudiants més al viatge, la qual cosa fa que cadascun dels que anaven a anar inicialment pagui $4\text{ \euro}$ menys. Planteja una equació racional per calcular quants estudiants formavam el grup original.

Resol l'equació simplificant les fraccions algebraiques:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$

Un dissenyador gràfic està creant un cartell rectangular l'àrea del qual ha de ser exactament de $600\text{ cm}^2$. Si augmentés la base del cartell en $10\text{ cm}$ i reduís l'altura en $5\text{ cm}$, l'àrea total continuaria sent la mateixa. Planteja una equació racional i determina les dimensions originals del cartell.

Troba els valors de $x$ que verifiquen la següent equació:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Després d'unes pluges torrencials provocades per una DANA a la conca de l'Ebre, els bombers han d'esgotar l'aigua acumulada en un pas subterrani. La motobomba municipal habitual trigaria $6\text{ hores}$ a buidar-lo en solitari. En incorporar una segona motobomba més moderna de reforç, totes dues funcionant simultàniament aconsegueixen buidar-lo del tot en $2,4\text{ hores}$.

1. a) Estima i raona: Abans de plantejar cap equació, justifica per què el temps que trigaria la bomba moderna sola ha de ser necessàriament menor de $6\text{ hores}$ però estrictament major de $2,4\text{ hores}$. A més, explica si esperes que trigui més o menys de $3\text{ hores}$ comparant les $2,4\text{ hores}$ amb el que trigarien juntes si la moderna trigués exactament $3\text{ hores}$.
2. b) Planteja l'equació racional del treball conjunt per hora prenent com a incògnita $t$ (temps en hores que trigaria la bomba de reforç en solitari), indicant les restriccions de domini de la variable.
3. c) Resol l'equació i comprova si el teu resultat exacte coincideix amb l'estimació que has fet.

Un aficionat al ciclisme fa un entrenament d'anada i tornada en un tram pla de $20\text{ km}$ d'anada i $20\text{ km}$ de tornada ($40\text{ km}$ en total) a Castella-la Manxa. Segons dades d'una estació propera d'AEMET, va bufar un vent constant de $5\text{ km/h}$ en la direcció de la carretera durant tota la jornada, de manera que a l'anada va pedalar amb vent a favor i a la tornada amb vent en contra. El ciclista va completar el recorregut total en exactament $3\text{ hores}$, mantenint un esforç constant (la mateixa velocitat mitjana $v$ que portaria sense vent).

1. a) Modela la situació plantejant una equació racional on la incògnita sigui $v$ (en $\text{km/h}$), expressant el temps d'anada i el temps de tornada en funció de $v$.
2. b) Determina les restriccions del domini: quina condició física i algebraica mínima ha de complir la velocitat $v$ perquè el ciclista pugui tornar contra el vent?
3. c) Resol l'equació per trobar $v$ i calcula per separat el temps exacte que va invertir en l'anada i en la tornada.

Donada l'equació racional amb paràmetre $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina per a quins valors del paràmetre $a$ l'equació té infinites solucions, i per a quins valors no en té cap.

En un circuit electrònic es connecten dues resistències en paral·lel. La resistència equivalent del conjunt, $R_{eq}$, es calcula mitjançant la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Es sap que el valor de la resistència $R_2$ és $5\ \Omega$ més gran que el de $R_1$, i que la resistència equivalent del circuit és de $6\ \Omega$. Planteja i resol una equació racional per trobar el valor de totes dues resistències.

Un vaixell a motor realitza un trajecte per un riu, recorrent $24\text{ km}$ a favor del corrent i després tornant al punt de partida a contracorrent. El temps total de navegació ha sigut de $5\text{ hores}$. Si la velocitat del corrent del riu és de $2\text{ km/h}$, planteja una equació racional per calcular la velocitat del vaixell en aigües tranquil·les.

Resol la següent equació racional, factoritzant prèviament els denominadors per operar amb el mínim comú múltiple:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Resol la següent equació racional realitzant el canvi de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$

En un laboratori es tenen $50\text{ L}$ d'una dissolució salina amb una concentració inicial de $0,04\text{ kg/L}$. Es vol evaporar aigua de la mescla a un ritme constant per augmentar-ne la concentració (la quantitat de sal roman invariable). Si s'evaporen $x\text{ L}$ d'aigua, la nova concentració ha de ser de $0,1\text{ kg/L}$. Planteja l'equació racional corresponent i calcula la quantitat d'aigua que s'ha d'evaporar.

Determina totes les solucions reals de l'equació, simplificant les fraccions algebraiques fent servir identitats notables abans d'operar:

$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$

Dos pals verticals d'altures $x$ i $x+2$ metres estan separats per una certa distància en un terreny pla. Es tensen dos cables rectilinis i tensos des de la part superior de cada pal fins a la base del pal oposat. El punt on es creuen els cables es troba a una altura de $2,4\text{ m}$ de terra. Sabent que l'altura de l'encreuament $h$ compleix la relació geomètrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (on $h_1$ i $h_2$ són les altures dels pals), planteja una equació racional i calcula l'altura de tots dos pals.

Dissenya raonadament una equació racional que compleixi estrictament totes i cadascuna de les condicions següents:

1. Ha de contenir com a mínim dues fraccions algebraiques amb denominadors diferents no constants.

2. Els únics valors exclosos del domini de l'equació han de ser $x = -2$ i $x = 3$.

3. En aplicar el procediment estàndard (multiplicar tota l'equació pel mínim comú múltiple dels denominadors per eliminar fraccions), l'equació polinòmica de segon grau resultant ha de tenir com a solucions candidates $x = 3$ i $x = 5$.

4. En contrastar amb les restriccions del domini, el valor $x = 3$ s'ha de descartar perquè és una solució falsa o estranya, i resulta $x = 5$ com l'única solució vàlida de l'equació.

Mostra la deducció inversa pas a pas per construir aquesta equació (partint de les arrels buscades i reconstruint les fraccions algebraiques) i resol formalment l'equació que has obtingut per demostrar que satisfà totes les condicions exigides.

Considera la següent equació racional dependent del paràmetre real $k$:

En David la resol a la pissarra amb aquest procediment:

1. Factoritza el denominador $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ i multiplica-ho tot per aquest mínim comú múltiple: $k(x+2) + 2(x-1) = x+5$.

2. Desenvolupa i agrupa termes: $kx + 2k + 2x - 2 = x + 5 \implies (k+1)x = 7 - 2k$.

3. Aïlla la incògnita: $x = \frac{7-2k}{k+1}$.

En David conclou: «Per a qualsevol valor real de $k$, l'equació sempre té una única solució donada per aquesta fórmula».

1. a) Assenyala els dos errors greus de raonament comesos per en David: un de caràcter algebraic en aïllar en presència d'un paràmetre i un altre de relatiu a la definició i domini de les funcions racionals.
2. b) Fes una discussió completa i rigorosa en funció del paràmetre $k$: precisa per a quins valors de $k$ l'equació no té solució (detallant el motiu en cada cas), per a quins té una solució única vàlida i si hi ha algun valor de $k$ per al qual tingui infinites solucions.