Exercicis: Equacions irracionals

Resol la següent equació irracional i comprova la validesa de la seva solució:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Troba el valor de $x$ que satisfà la següent equació amb una arrel cúbica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Determina les possibles solucions de l'equació de segon grau sota el radical:

$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$

Resol l'equació irracional aïllant el radical i elevant al quadrat. Tingues una atenció especial a les possibles solucions falses:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Troba la solució igualant els radicands de la següent equació:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$

Aïlla la incògnita $x$ en l'equació irracional que conté una fracció en el seu radicand:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

En cinemàtica, el temps $t$ (en segons) que triga un objecte a caure lliurement des d'una altura $h$ (en metres) ve donat per la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula des de quina altura es va deixar caure una pedra si va trigar exactament $4$ segons a arribar a terra.

La diagonal $d$ d'un rectangle es pot calcular a partir dels seus costats $b$ i $h$ fent servir el teorema de Pitàgores: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabem que la diagonal mesura $13$ cm i un dels seus costats mesura $5$ cm, planteja l'equació irracional corresponent i calcula la longitud de l'altre costat.

En Lucas ha resolt a la pissarra l'equació irracional $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ seguint aquests passos:

1) Eleva al quadrat tots dos membres: $2x - 3 = (x - 3)^2 \implies 2x - 3 = x^2 - 6x + 9$.

2) Agrupa termes en un sol membre: $x^2 - 8x + 12 = 0$.

3) Aplica la fórmula quadràtica i obté dues solucions: $x_1 = 6$ i $x_2 = 2$.

4) Conclou: «El conjunt final de solucions de l'equació és $\{2, 6\}$».

1. a) Sense resoldre l'equació des de zero, detecta l'error comès per en Lucas i explica raonadament per què l'operació d'elevar al quadrat pot introduir valors que no satisfan la igualtat original.
2. b) Comprova tots dos valors en l'equació de partida i determina quina és l'única solució real vàlida.

Donada l'equació irracional $\sqrt{2x + 1} = x - 1$:

1. a) Abans d'operar algebraicament, analitza les restriccions de signe: dedueix per a quins valors de $x$ existeix l'arrel quadrada en $\mathbb{R}$ i per a quins el membre de la dreta és no negatiu. Amb això, delimita l'interval de la recta real on és viable trobar solucions.
2. b) Avalua mentalment els valors $x = 0$, $x = 2$ i $x = 4$. A partir d'aquesta avaluació, estima entre quins nombres enters s'ha de trobar la solució real i argumenta si hi pot haver una solució menor que $1$.
3. c) Resol l'equació elevant al quadrat tots dos membres, comprova si la solució trobada coincideix amb la teva estimació inicial i descarta formalment qualsevol solució espúria justificant-ne el motiu.

Resol l'equació amb dos radicals aïllant-los adequadament en membres diferents abans d'elevar al quadrat:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Troba les solucions de la següent equació, comprovant obligatòriament els resultats obtinguts per descartar solucions estranyes:

$x - \sqrt{2x - 1} = 2$

El període $T$ d'un pèndol simple (el temps que triga a realitzar una oscil·lació completa) es calcula mitjançant la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres i $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ és l'acceleració de la gravetat. Si un rellotge de pèndol en una exposició científica té un període exacte de $2,5$ segons, esbrina la longitud del seu pèndol. Utilitza l'aproximació $\pi \approx 3,14$.

La distància entre els punts $A(2, -1)$ i $B(x, 3)$ en el pla cartesià és exactament de $5$ unitats. Planteja l'equació irracional corresponent a la distància entre dos punts i calcula les possibles coordenades $x$ del punt $B$.

Resol la següent equació que involucra la diferència de dues arrels quadrades. Aïlla una de les arrels abans d'elevar al quadrat:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

En una fàbrica de components electrònics, el cost de producció diari $C(x)$ en euros en funció de $x$ unitats fabricades es modelitza mitjançant la funció $C(x) = 250 + 15\sqrt{x - 50}$. Si en un dia determinat el cost de producció ha estat exactament de $850$ euros, quantes unitats s'han fabricat?

Resol la següent equació irracional realitzant un canvi de variable adequat (per exemple, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

La distància $d$ en quilòmetres a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ en metres sobre el nivell del mar s'aproxima de forma simplificada mitjançant la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un guaita a la gàbia d'un vaixell pirata divisa terra a una distància de $15$ km, a quina altura es troba aproximadament?

L'equip tècnic d'Adif encarregat del manteniment de la catenària a la línia d'alta velocitat Madrid-Zaragoza estudia la tensió mecànica $T$ (en quilonewtons, kN) del cable conductor en funció de la seva dilatació tèrmica $x$ (en centímetres). El comportament estructural del tram respon al model empíric $T = \sqrt{8x + 17}$. Per assegurar el contacte correcte amb el pantògraf del tren, el contrapès mecànic del pal imposa simultàniament la condició lineal $T = x + 1$.

1. a) Planteja l'equació irracional que permet determinar la dilatació $x$ corresponent a la posició d'equilibri del sistema.
2. b) Resol l'equació aïllant la incògnita mitjançant elevació al quadrat.
3. c) Interpreta físicament i matemàticament per què una de les dues solucions algebraiques obtingudes no té sentit i s'ha de descartar. Indica el valor admisible de la dilatació $x$ i la tensió $T$ en aquest punt.

Dissenya una equació irracional de la forma $\sqrt{ax + b} = x + c$ (on $a$, $b$ i $c$ són nombres enters) que compleixi estrictament les tres condicions següents:

1) En elevar tots dos membres al quadrat i reduir termes semblants, doni lloc amb exactitud a l'equació quadràtica $x^2 - 5x - 6 = 0$.

2) El valor $x = 6$ sigui l'ÚNICA solució real vàlida de l'equació irracional original.

3) El valor $x = -1$ quedi descartat perquè és una solució espúria introduïda durant el procés algebraic.

Mostra amb claredat el raonament que et permet deduir els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$, escriu l'equació definitiva i comprova-hi la validesa de $x = 6$ i el descart de $x = -1$ justificant la diferència de signe.

Resol la següent equació irracional que conté tres radicals. Assegura't de comprovar les solucions obtingudes al final del procés:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Troba les solucions reals de l'equació amb radicals aniuats:

$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$

Discuteix de forma raonada per a quins valors del paràmetre real $k > 0$, l'equació $\sqrt{x + k} = x$ té exactament una única solució real vàlida.

Un enginyer dissenya una rampa de càrrega per a un magatzem logístic. La base horitzontal mesura $x$ metres i l'altura mesura $2$ metres menys que la base. Si la longitud de la rampa (la hipotenusa) ve donada per l'expressió $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ i es requereix que mesuri exactament $\sqrt{34}$ metres, planteja l'equació irracional i determina les dimensions reals de la rampa.

Resol la següent equació irracional. Pots racionalitzar prèviament el denominador, o bé multiplicar en creu i agrupar termes intel·ligentment per facilitar el càlcul:

$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$

Segons la Teoria de la Relativitat Especial d'Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatació del temps i es calcula com a $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $v$ és la velocitat de la nau i $c$ és la velocitat de la llum al buit. Si en una missió espacial s'observa que el temps passa al $50\%$ del ritme terrestre (és a dir, $\gamma = 2$), resol l'equació irracional per trobar a quina fracció de la velocitat de la llum viatja la nau.

Resol la següent equació irracional aïllant estratègicament els radicals i verificant les solucions al final:

$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$

Una línia elèctrica ha de connectar una central $A$ situada en un costat d'un riu recte de $4$ km d'amplada, amb una ciutat $B$ situada al costat oposat, $10$ km riu avall. El cost d'estendre el cable sota l'aigua és de $5$ milions d'euros per km, i per terra és de $3$ milions d'euros per km. Si el cable creua el riu en línia recta fins a un punt $P$ situat a $x$ km riu avall i després va per terra fins a $B$, el cost total en milions d'euros és $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Troba el valor de $x$ que fa que el cost total sigui exactament de $46$ milions d'euros resolent l'equació irracional corresponent.

Considera l'equació: $x^2 - 3x - \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 1$.

Dos estudiants d'1r de Batxillerat plantegen dos mètodes de resolució diferents:

• Estratègia A (Elevació directa): Aïllar el radical, $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = x^2 - 3x - 1$, i elevar tots dos membres al quadrat, obtenint una equació de 4t grau en $x$ per resoldre-la aplicant la regla de Ruffini.

• Estratègia B (Canvi de variable): Aprofitar l'estructura repetida de l'expressió i definir $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$ (amb la condició $t \ge 0$), transformant la igualtat en una equació de 2n grau en $t$.

1. a) Compara raonadament totes dues estratègies analitzant la dificultat operativa, el nombre de candidats a solució que genera cadascuna i el risc d'arrossegar arrels espúries. Justifica quin dels dos camins és objectivament més net i eficient.
2. b) Resol l'equació mitjançant l'Estratègia B, justificant el descart immediat de qualsevol valor de $t$ inadmissible abans de desfer el canvi, i troba totes les solucions reals de $x$.

En una prova d'avaluació, es demana discutir el nombre de solucions reals de l'equació $\sqrt{x + 5} = x + m$ en funció del paràmetre real $m$.

La Sofia lliura la resolució següent:

«Elevo al quadrat: $x + 5 = x^2 + 2mx + m^2 \implies x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 5) = 0$.

El discriminant és $\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 5) = 21 - 4m$.

Conclusió: si $m < 21/4$, com que $\Delta > 0$, l'equació irracional té dues solucions reals; si $m = 21/4$, en té una; i si $m > 21/4$, no té cap solució real».

1. a) Explica de manera rigorosa per què la conclusió de la Sofia és incompleta i falsa, indicant quina condició obligatòria de les equacions irracionals no ha tingut en compte en traslladar els resultats de la quadràtica a l'equació original.
2. b) Proporciona un contraexemple concret triant un valor numèric de $m < 21/4$ per al qual l'equació irracional tingui únicament UNA solució real en comptes de dues. Resol l'equació amb aquest valor de $m$ i mostra quin dels candidats es descarta i per què.
3. c) Realitza la discussió completa i correcta del nombre de solucions reals de l'equació per a tots els possibles valors de $m \in \mathbb{R}$.