Ecuaciones irracionales

Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.

Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río abajo. El coste de tender el cable bajo el agua es de $5$ millones de euros por km, y por tierra es de $3$ millones de euros por km. Si el cable cruza el río en línea recta hasta un punto $P$ situado a $x$ km río abajo y luego va por tierra hasta $B$, el coste total en millones de euros es $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Encuentra el valor de $x$ que hace que el coste total sea exactamente de $46$ millones de euros resolviendo la ecuación irracional correspondiente.

La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal mide $13$ cm y uno de sus lados mide $5$ cm, plantea la ecuación irracional correspondiente y calcula la longitud del otro lado.

El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo en una exposición científica tiene un periodo exacto de $2,5$ segundos, averigua la longitud de su péndulo. Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$.

La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma simplificada mediante la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un vigía en la cofa de un barco pirata avista tierra a una distancia de $15$ km, ¿a qué altura se encuentra aproximadamente?