Exercicis: Regles de derivació

Calcula la funció derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicant les regles bàsiques de derivació de potències i la linealitat.

Determina la derivada de la funció $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ fent ús de la regla del producte.

Aplica la regla del quocient per trobar la derivada de la funció racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.

Calcula la derivada de la funció composta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicant correctament la regla de la cadena.

Troba la primera derivada de la funció logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordant la regla de derivació per a exponencials de base diferent de $e$ i per a funcions trigonomètriques inverses.

Determina la segona derivada, $f''(t)$, de la funció $f(t) = \cos(5t) - t^3$.

La Lucía ha de calcular la funció derivada d'$h(x) = (3x^2 - 5)^4$. Al seu examen escriu el següent:

I a partir d'aquí dedueix que $h'(1) = 4(3\cdot 1^2 - 5)^3 = 4(-2)^3 = -32$.

1. a) Identifica amb precisió quina regla de derivació ha aplicat de manera incompleta i explica amb les teves paraules quin factor ha oblidat afegir segons la regla de la cadena i què representa conceptualment aquest factor.
2. b) Corregeix el procediment de la Lucía, escriu l'expressió correcta de la funció derivada $h'(x)$ i calcula el valor veritable d'$h'(1)$.

Es planteja calcular la funció derivada de $f(x) = \frac{6x^4 - 9x^2}{3x^2}$ per a tot $x \ne 0$.

• Mètode 1: Aplicar directament la regla de derivació del quocient: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Mètode 2: Dividir prèviament cada terme del numerador entre el monomi del denominador per reescriure $f(x)$ com un polinomi simple i derivar després terme a terme.

1. a) Fes el càlcul de la derivada aplicant tots dos mètodes pas a pas.
2. b) Compara els dos camins: quin resulta més àgil i amb menys probabilitat de cometre errors de càlcul o signes? Justifica per què el Mètode 2 només és recomanable quan el denominador és un únic monomi.

El nombre de reproduccions diàries d'una cançó que s'ha fet viral evoluciona segons la funció $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, on $t$ es mesura en dies des del seu llançament i $R(t)$ en milers de reproduccions. Calcula la taxa de variació instantània $R'(t)$ aplicant les regles de derivació i indica la seva expressió factoritzada al màxim.

El cost mitjà de producció d'un component electrònic d'alta precisió ve donat per $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, on $x$ és el nombre de lots fabricats ($x > 0$). Determina la funció que descriu el ritme de canvi del cost mitjà, $C'(x)$.

La temperatura d'un forn industrial després de ser apagat descendeix segons la llei de refredament $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, amb $T$ en graus Celsius i $t$ en hores. Troba l'expressió de la velocitat de refredament $T'(t)$ usant la regla de la cadena.

El perfil de la coberta d'un estadi olímpic segueix la corba plana donada per $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metres. Calcula l'equació general de la recta tangent en el punt d'abscissa $x = 5$ per dissenyar un suport estructural rectilini que es recolzi tangencialment en aquest punt.

Un braç robòtic articulat es mou de tal manera que l'angle de la seva articulació principal (en radians), en funció d'un paràmetre de control $x$, és $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ per a $x > 1$. Obtén i indica la forma completament simplificada de $\theta'(x)$.

La posició d'un pistó pneumàtic dins d'un cilindre està descrita per l'equació de moviment $s(t) = \ln(1 + t^2)$, on $s$ està en decímetres i $t$ en segons. Calcula l'expressió de l'acceleració del pistó, que correspon a la segona derivada $s''(t)$, i determina en quin instant $t > 0$ aquesta acceleració es fa zero.

Una placa solar fotovoltaica instal·lada en un habitatge de Sevilla experimenta una lleu dilatació tèrmica durant les hores centrals del dia. La seva amplada en metres varia segons la funció $a(t) = 1 + 0,02t$, i la seva longitud segons $l(t) = 2 + 0,05t$, on $t$ és el temps transcorregut en hores des de les 11:00 ($t \ge 0$). La superfície de captació ve donada per $S(t) = a(t) \cdot l(t)$.

1. a) Abans de derivar, estima de manera raonada si la velocitat instantània d'augment de l'àrea a $t = 0$ ($S'(0)$) serà més gran, més petita o igual que la suma de les velocitats a què creixen els seus costats ($a'(0) + l'(0) = 0,02 + 0,05 = 0,07\text{ m}^2/\text{h}$). Recolza la teva conjectura en la interpretació geomètrica de la regla del producte (el creixement d'un rectangle repartit en dues franges).
2. b) Aplica la regla del producte per calcular la funció derivada $S'(t)$ i avalua exactament el valor de $S'(0)$.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i raona com intervenen les dimensions inicials ($a(0) = 1\text{ m}$ i $l(0) = 2\text{ m}$) en el ritme global de creixement de la superfície.

Durant un episodi de precipitacions continuades de tardor, el volum d'aigua emmagatzemat en un embassament de la conca del riu Ebre evoluciona en funció del temps segons el model:

on $V(t)$ representa el volum addicional emmagatzemat en hectòmetres cúbics ($\text{hm}^3$) i $t$ és el temps transcorregut en dies des de l'inici del temporal ($t \ge 0$).

1. a) Aplica la regla del quocient per obtenir la funció derivada $V'(t)$ i simplifica al màxim el numerador de la fracció resultant.
2. b) Determina en quin dia $t$ la taxa instantània d'ompliment s'anul·la ($V'(t) = 0$). Analitza el signe de $V'(t)$ abans i després d'aquest dia i interpreta què passa físicament amb el volum de l'embassament.
3. c) Calcula la velocitat de variació del volum a $t = 2$ dies i a $t = 6$ dies. Indica les unitats en què es mesura aquesta derivada i interpreta el significat físic del seu signe en tots dos instants.

La trajectòria d'un satèl·lit durant una complexa maniobra orbital es descriu en un pla de referència mitjançant la corba definida de forma implícita per l'equació $x^2 y - 3y^3 x = 10$. Calcula el valor del pendent de la trajectòria, $y'$, en el punt de coordenades $(-2, 1)$.

Siguin $f(x)$ i $g(x)$ dues funcions les gràfiques de les quals es mostren a la figura. La gràfica de $f$ és la paràbola $f(x)=-x^2+6x-3$, que passa pels punts $(2,\,5)$ i $(4,\,5)$. La gràfica de $g$ és la recta que passa pels punts $(2,\,4)$ i $(4,\,2)$. Es defineixen la funció composta $h(x)=f(g(x))$ i la funció producte $p(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Calcula els valors exactes de:

1. a) $h'(2)$

1. b) $p'(4)$

La intensitat d'un senyal electromagnètic atenuat en travessar un medi dens segueix la funció $I(x) = x e^{-x}$. Calcula les tres primeres derivades $I'(x)$, $I''(x)$ i $I'''(x)$, i a partir dels resultats obtinguts, dedueix i escriu la fórmula general per a la derivada enèsima $I^{(n)}(x)$.

En un circuit RLC de corrent altern, la càrrega del condensador respon a la funció $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Demostra, calculant detalladament $q'(t)$ i $q''(t)$, que per a les constants $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ i $\omega=3$, la funció satisfà l'equació diferencial de segon ordre:

El nivell de pressió sonora en una cambra anecoica, després d'aplicar un filtre de freqüències, ve donat per la funció:

Demostra, utilitzant les propietats dels logaritmes abans de derivar i aplicant identitats trigonomètriques en el resultat final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.

Se sap que una funció $h(x)$ ve definida pel producte $h(x) = x^2 \cdot g(x)$, on $g(x)$ és una funció derivable a tot $\mathbb{R}$ l'expressió algebraica de la qual no es coneix de manera directa. Tanmateix, s'ha comprovat experimentalment que la recta tangent a la gràfica d'$h(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$ té per equació $y = 12x - 9$.

1. a) A partir de l'equació de la recta tangent, dedueix de manera justificada els valors numèrics exactes d'$h(3)$ i de la derivada $h'(3)$.
2. b) Aplica la regla del producte a l'expressió $h(x) = x^2 \cdot g(x)$ per plantejar una relació algebraica entre $h'(3)$, $g(3)$ i $g'(3)$. Aïlla i calcula el valor numèric exacte de $g(3)$ i de $g'(3)$.
3. c) A partir del signe obtingut per a $g'(3)$, raona si la funció $g(x)$ és creixent o decreixent a les proximitats de $x = 3$.
4. d) Amb els resultats deduïts, escriu l'equació de la recta tangent a la gràfica d'$y = g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$.

Als apunts es fonamenta que un quocient equival al producte $\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$, de manera que la seva derivada sorgeix de combinar la regla del producte i la de la cadena.

1. a) Fes formalment aquesta deducció: deriva l'expressió $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ aplicant la regla del producte i la de la cadena sobre $[g(x)]^{-1}$, treu factor comú $[g(x)]^{-2}$ i demostra que s'obté exactament la fórmula habitual: $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$.
2. b) Generalitza el raonament: demostra que la derivada d'una funció de la forma $H(x) = \frac{f(x)}{[g(x)]^n}$ (on $n \in \mathbb{N}$) es pot expressar directament com:

1. c) Aplica la fórmula deduïda a l'apartat b per trobar la derivada de $k(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + 3)^3}$.
2. d) Tria i justifica: compara aquest procediment amb l'ús de la regla del quocient tradicional sobre $k(x)$ i raona per què la fórmula generalitzada evita simplificacions feixugues de factors repetits al numerador i al denominador.