Reglas de derivación
Los polinomios se derivan sumando y multiplicando por el exponente, pero la mayoría de funciones reales combinan productos, cocientes y funciones metidas unas dentro de otras: una exponencial que depende del tiempo al cuadrado, un coste que es un cociente de polinomios. Para esas combinaciones existen tres reglas fijas —producto, cociente y cadena— que, aplicadas en el orden correcto, derivan cualquier función sin volver a usar límites.
Regla del producto
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
Regla del cociente
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Regla de la cadena
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, donde $t$ se mide en días desde su…
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, donde $t$ se mide en días desde su lanzamiento y $R(t)$ en miles de reproducciones. Calcula la tasa de variación instantánea $R'(t)$ aplicando las reglas de derivación e indica su expresión factorizada al máximo.
Combinando las tres reglas
La mayoría de funciones reales mezclan cadena con producto o con cociente. La estrategia es siempre la misma: identifica primero la operación "más exterior" (¿es un producto? ¿un cociente? ¿una sola función compuesta?) y aplica su regla; dentro de cada derivada que aparezca, vuelve a mirar si hace falta la cadena.
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados…
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados Celsius y $t$ en horas. Halla la expresión de la velocidad de enfriamiento $T'(t)$ usando la regla de la cadena.
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente…
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 5$ para diseñar un soporte estructural rectilíneo que se apoye tangencialmente en dicho punto.