Exercicis: Representació gràfica de funcions

Troba els punts de tall de la gràfica de $f(x) = x^3 - 4x$ amb els eixos de coordenades.

Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ i indica la seva asímptota vertical, estudiant els límits laterals en el punt que no pertany al domini.

Comprova que la funció $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ té una asímptota horitzontal i calcula la seva equació estudiant el límit quan $x \to \pm \infty$.

Comprova que la funció $f(x) = x^3 - x$ és senar i explica quin avantatge suposa aquesta simetria a l'hora de representar-la gràficament.

La figura mostra la gràfica completa d'una funció racional, amb les seves asímptotes dibuixades a traços. A partir de la lectura de la gràfica, indica: domini, punts de tall amb els eixos, equacions de les asímptotes i intervals de creixement i decreixement.

La figura mostra l'esquema de signes d'una funció polinòmica de segon grau: la seva gràfica queda per sobre de l'eix d'abscisses fora de l'interval $[1, 4]$ i per sota a dins.

1. a) Escriu una possible expressió analítica de $f$.

1. b) Quantes funcions polinòmiques de segon grau distintes compleixen aquest mateix esquema de signes? Raona la teva resposta.

Realitza la divisió $\frac{x^2 + 1}{x}$ i comprova que la gràfica de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ s'acosta a la recta $y = x$ quan $x \to \pm \infty$, com il·lustra la figura. Quin nom rep aquesta recta?

Raona si la següent afirmació és vertadera o falsa: «Si una funció té una asímptota horitzontal, la seva gràfica mai pot tallar aquesta asímptota». Si és falsa, verifica-ho amb la funció $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$, comprovant que la seva gràfica talla la seva asímptota horitzontal en algun punt.

Observa la gràfica següent d'una funció polinòmica. Identifica els intervals en què la funció és convexa (forma de $\cup$) i còncava (forma de $\cap$). Senyala també les coordenades aproximades del seu punt d'inflexió.

La gràfica següent correspon a la funció de proporcionalitat inversa $y = -\frac{2}{x}$. A partir de l'observació de la corba, determina els intervals de concavitat i convexitat. Té aquesta funció algun punt d'inflexió en el seu domini?

Indica si la següent afirmació és vertadera o falsa i justifica la teva resposta detalladament:

«Un punt d'inflexió és aquell punt de la gràfica en què la funció passa de ser creixent a ser decreixent, o viceversa».

En Marcos ha de trobar les asímptotes verticals de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. El seu raonament a l'examen ha estat el següent: «Igualo el denominador a zero: $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ i $x = -2$. Per tant, la funció té dues asímptotes verticals: les rectes $x = 2$ i $x = -2$».

1. a) Explica quin és l'error conceptual comès per en Marcos i per què anul·lar el denominador és una condició necessària però no suficient per a l'existència d'una asímptota vertical.
2. b) Calcula els límits pertinents ($\lim_{x \to 2} f(x)$ i $\lim_{x \to -2} f(x)$) per determinar amb rigor quin dels dos valors correspon realment a una asímptota vertical i què passa a la gràfica en l'altre punt.
3. c) Escriu la conclusió correcta indicant l'equació de l'única asímptota vertical i les coordenades del «forat» o discontinuïtat evitable que presenta la corba.

Per estudiar si la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ té asímptota obliqua i conèixer la seva posició relativa respecte a ella, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• La Lucía proposa calcular els límits generals a l'infinit: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

• En Sergio proposa efectuar directament la divisió polinòmica entre el numerador i el denominador per reescriure $f(x) = c(x) + \frac{r(x)}{d(x)}$.

1. a) Compara els dos camins i justifica quin és més directe i aporta informació immediata sobre la posició de la corba respecte a l'asímptota.
2. b) Aplica el mètode més convenient per obtenir l'equació de la recta asímptota obliqua $y = m \cdot x + n$ i determina si la corba se situa per sobre o per sota d'ella quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Estudia i representa gràficament la funció $f(x) = x^3 - 3x^2$ seguint aquests passos:

1. a) Punts de tall amb els eixos.

1. b) Derivada, punts singulars i intervals de monotonia.

1. c) Màxims i mínims relatius.

1. d) Dibuixa la gràfica recollint tota la informació anterior.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció biquadrada $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetria, punts de tall amb els eixos, intervals de monotonia, extrems relatius i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: domini, punts de tall, asímptotes verticals i horitzontals amb els seus límits, monotonia mitjançant la derivada i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: domini, punts de tall, asímptota vertical, asímptota obliqua (realitza la divisió), intervals de monotonia i extrems relatius, i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es mesura la temperatura d'un vas d'aigua calenta en una cuina a $20\ \text{°C}$ i s'obtenen les dades de la figura. El model proposat és $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, amb $t$ en minuts.

1. a) Comprova que el model és coherent amb les primeres dades de la figura.

1. b) Estudia la monotonia de $T(t)$ per a $t \geq 0$ mitjançant la seva derivada.

1. c) Calcula l'asímptota horitzontal i interpreta el seu significat físic.

1. d) Esbossa la gràfica del model per a $t \geq 0$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = x \cdot (x - 2)^2$: punts de tall amb els eixos (observa l'arrel doble i què implica per a la gràfica a $x = 2$), intervals de monotonia, extrems relatius i dibuix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un alumne afirma que la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ és la paràbola que apareix a la figura. Explica l'error que ha comès, simplifica l'expressió de $f$ i descriu com és realment la seva gràfica, indicant què passa a $x = 2$.

Estudia i representa la funció definida a trossos

analitzant: domini, continuïtat en el punt d'unió, monotonia en cada tram, extrems relatius i dibuix de la gràfica completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El gràfic següent representa la distància meandrada / recorreguda per un vehicle en funció del temps al llarg d'un trajecte. Analitza la curvatura en els tres trams marcats (A, B i C) i relaciona si la funció és còncava, convexa o lineal amb l'estat de moviment del vehicle (accelerant, frenando o velocitat constant).

Durant una epidèmia, el nombre total de persones contagiades es modela mitjançant la corba que apareix a la figura. Identifica el punt d'inflexió de la gràfica. Quin nom rep aquest punt en el llenguatge epidemiològic popular i què indica sobre el ritme diari de nous contagis?

S'està abocant aigua a un ritme constant en tres recipients de vidre amb formes diferents: un cilindre recte, un cone amb el vèrtex cap avall i un cone amb el vèrtex cap amunt. Associa cada recipient amb la forma que tindrà la gràfica de l'altura de l'aigua en funció del temps: convexa ($\cup$), còncava ($\cap$) o lineal. Raona la teva resposta observant com varia l'amplada del recipient.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Representa gràficament la funció de forma esquemàtica. Estudia la seva concavitat i convexitat en els intervals $(-\infty, 0)$ i $(0, +\infty)$. És l'origen de coordenades un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En economia, la funció de costos totals de producció d'una fàbrica sol tenir forma còncava ($\cap$) al principi a causa de les economies d'escala (els costos creixen cada vegada més lent), i convexa ($\cup$) a partir de cert nivell de producció per saturació (els costos creixen cada vegada més ràpid).

Si la funció de costos totals és $C(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x$, on $x$ són les unitats produïdes, i es sap que el punt d'inflexió separa aquestes dues zones, a partir de quin nivell de producció els costos comencen a disparar-se més ràpidament? (Dada: el punt d'inflexió d'una funció cúbica $ax^3+bx^2+cx+d$ se situa a $x = -\frac{b}{3a}$).

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, es sap per la seva gràfica que el seu punt d'inflexió es troba situat exactament a la coordenada $x$, que és el punt mitjà entre els seus dos extrems relatius (un màxim local a $x=1$ i un mínim local a $x=3$).

Calcula les coordenades exactes del punt d'inflexió i determina els intervals de concavitat ($\cap$) i convexitat ($\cup$) de la funció.

La funció $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absolut d'una paràbola i la seva gràfica té forma de «W» arrodonida.

Observa la seva gràfica i determina en quins intervals la funció és còncava ($\cap$) i en quins és convexa ($\cup$). Es poden considerar els punts $x=-2$ i $x=2$ (marcats en vermell) com a punts d'inflexió pròpiament dits? Raona la teva resposta.

Considera la família de funcions quadràtiques paramètriques donades per l'expressió $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, on $a$ és un nombre real.

1. a) Per a quins valors exactes del paràmetre $a$ la funció és una paràbola convexa ($\cup$)?
2. b) Per a quins valors de $a$ és una paràbola còncava ($\cap$)?
3. c) Existeix algun valor de $a$ per al qual la gràfica de la funció no tingui curvatura? En aquest cas, quin tipus de funció geomètrica s'obté?

Un capital inicial de $1000\ \text{€}$ s'inverteix en un fons a un interès compost anual del $5\%$. La funció que descriu el capital acumulat al llarg del temps $t$ (en anys) és $C(t) = 1000 \cdot (1,05)^t$.

Sabent que les funcions exponencials amb base més gran que $1$ tenen una curvatura característica, determina si aquesta funció és còncava ($\cap$) o convexa ($\cup$). Arribarà algun moment en el futur en què el ritme de creixement del capital comenci a disminuir, generant així un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estima sense derivar: Analitza la seva simetria calculant $f(-x)$, el seu signe per a valors de $x > 0$, el tall amb els eixos i el seu comportament asimptòtic quan $x \to +\infty$. A partir d'aquestes dades exclusivament, raona si la funció ha d'assolir obligatòriament un màxim relatiu per a algun valor positiu de $x$. Si a més calcules que $f(1) = 2$, creus raonable que l'altura màxima superi el valor $y = 3$? Justifica la teva estimació.
2. b) Comprova analíticament: Calcula la primera derivada $f'(x)$, determina els punts singulars i comprova si el valor exacte del màxim coincideix qualitativament amb el que havies deduït.
3. c) Utilitza la propietat de simetria demostrada en el primer apartat per deduir, sense tornar a estudiar signes de derivades, les coordenades exactes i la naturalesa de l'extrem relatiu corresponent a la semirecta negativa.

Un equip de disseny gràfic necessita reproduir una corba simètrica que respongui al model racional $f(x) = \frac{a \cdot x^2 + b}{x^2 - c}$, on $a$, $b$ i $c$ són coeficients reals. S'estableixen les condicions següents:

1. La gràfica té dues asímptotes verticals simètriques en les rectes $x = 2$ i $x = -2$.

2. A l'infinit, la corba s'aproxima a la recta horitzontal $y = 3$.

3. La corba talla l'eix vertical d'ordenades en el punt $(0, -1)$.

1. a) Planteja les equacions corresponents i calcula el valor dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
2. b) Amb la funció ja determinada, esbrina raonadament si la gràfica arriba a tallar en algun moment l'eix horitzontal $X$.
3. c) Estudia el signe de la derivada $f'(x)$ i demostra que el punt de tall amb l'eix $Y$ és necessàriament un extrem relatiu, indicant si es tracta d'un màxim o d'un mínim.

Realitza l'estudi complet i la representació gràfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Domini, punts de tall i simetries.

1. b) Asímptotes vertical, horitzontal i obliqua, amb els límits corresponents.

1. c) Intervals de monotonia i extrems relatius.

1. d) Posició de la corba respecte de l'asímptota obliqua i dibuix final.

Estudia i representa la funció $f(x) = x \cdot e^{-x}$: domini, punts de tall, asímptota horitzontal quan $x \to +\infty$, comportament quan $x \to -\infty$, intervals de monotonia, extrem relatiu i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = x + \frac{1}{x}$: domini, simetria senar, absència de talls amb l'eix d'abscisses (raona-la), asímptotes vertical i obliqua, intervals de monotonia, extrems relatius amb els seus valors i dibuix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es busca una funció racional la gràfica de la qual tingui asímptota vertical $x = 1$, asímptota horitzontal $y = 2$ i passi pel punt $(0, 1)$.

1. a) Proposa una expressió del tipus $f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}$ i determina $a$ i $b$ amb les condicions donades.

1. b) Comprova que la funció obtinguda compleix les tres condicions.

1. c) Estudia la seva monotonia i dibuixa la seva gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$: domini, simetria, asímptotes verticals i horitzontals (calcula els quatre límits necessaris), monotonia en cada branca mitjançant la derivada i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Després de prendre un medicament en dejú, la seva concentració en sang, en $\text{mg/l}$, es modela amb $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, on $t \geq 0$ són les hores transcorregudes.

1. a) Estudia la monotonia de $C(t)$ i determina en quin moment la concentració és màxima i quant val.

1. b) Calcula l'asímptota horitzontal i interpreta-la en el context.

1. c) Determina durant quin interval de temps la concentració supera $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esbossa la gràfica completa del model.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$.

1. a) Realitza la divisió i comprova que $f(x) = x + \frac{x}{x^2 + 1}$, deduint que la recta $y = x$ és asímptota obliqua.

1. b) Determina en quin punt talla la gràfica la seva asímptota obliqua i estudia en quines regions la corba queda per sobre i per sota d'aquesta.

1. c) Completa l'estudi (simetria, monotonia) i dibuixa la gràfica juntament amb l'asímptota.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = \frac{\ln x}{x}$: domini, punt de tall amb l'eix d'abscisses, límits en els extrems del domini (en particular l'asímptota vertical i l'horitzontal), intervals de monotonia, extrem relatiu i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un enginyer està dissenyant el perfil d'una muntanya russa. El primer tram de descens segueix l'equació $y = -x^2 + 4$ per a $x \le 1$. Per suavitzar la transició cap a la pujada, decideix empalmar en $x = 1$ un segon tram amb forma de paràbola $y = a(x - 2)^2 + b$ per a $x > 1$.

Perquè l'empalmament sigui suau, la funció total ha de ser contínua i derivable en $x = 1$ (sense salts ni pics). A més, en aquest punt ha de canviar la curvatura: el primer tram és còncau i el segon ha de ser convex, de manera que $x = 1$ sigui un punt d'inflexió.

1. a) Troba els valors de $a$ i $b$ imposant la continuïtat i la derivabilitat en $x = 1$.

1. b) Comprova que amb aquests valors es compleix el canvi de curvatura en $x = 1$, estudiant el signe de la segona derivada de cada tram.

Una propietat geomètrica fonamental de les funcions convexes ($\cup$) és que el segment de recta que uneix dos punts qualssevol de la seva gràfica sempre queda per sobre de la corba.

Comprova analíticament aquesta propietat per a la funció $f(x) = x^2$. Per a fer-ho, troba l'equació de la recta secant que passa pels punts de la gràfica amb abscisses $x = -1$ i $x = 3$. Després, calcula el valor de la recta a $x = 1$ i comprova que és estrictament més gran que $f(1)$.

Descriu i dibuixa a la teva llibreta un esbós d'una funció contínua $f(x)$ definida en el domini $[-5, 5]$ que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• És simètrica senar (simetria respecte a l'origen).

• Té un màxim relatiu a $x = 2$ i un mínim relatiu a $x = -2$.

• Té exactament tres punts d'inflexió situats a $x = -3$, $x = 0$ i $x = 3$.

• És convexa ($\cup$) en els intervals $(-3, 0) \cup (3, 5]$.

• És còncava ($\cap$) en els intervals $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Durant el període de desglaç primaveral al Pirineu aragonès, el cabal d'aportació d'aigua $Q(t)$ (en $\text{hm}^3/\text{dia}$) a un embassament de la conca de l'Ebre s'ajusta al llarg d'un mes ($t \in [0, 30]$ dies transcorreguts) segons la funció:

1. a) Determina el cabal inicial en l'instant $t = 0$ i troba el valor límit al qual tendiria el cabal si el període es prolongués indefinidament ($t \to +\infty$). Interpreta l'asímptota horitzontal trobada en el context físic de l'embassament.
2. b) Mitjançant l'anàlisi de $Q'(t)$, localitza amb precisió matemàtica el dia en què es registra el cabal punta (màxim) i calcula el seu volum diari.
3. c) L'equip tècnic de la presa necessita anticipar el moment en què el cabal descendeix amb la màxima rapidesa (màxima velocitat de descens) per ajustar el sobreeixidor de comportes. Calcula $Q''(t)$, localitza el punt d'inflexió a l'interval $[5, 30]$ i interpreta el seu significat físic.
4. d) Traça un esbós detallat de la gràfica de $Q(t)$ per a $t \in [0, 30]$, situant els punts clau (inici, asímptota, extrems i curvatura) obtinguts en els apartats anteriors.

Per definir el perfil longitudinal d'una rampa d'acceleració en un banc d'assajos, es modelitza la trajectòria mitjançant un polinomi cúbic $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ que ha de complir les restriccions de disseny següents:

1. La rampa parteix de l'origen de coordenades $(0, 0)$ amb un pendent inicial de $45^\circ$ (la recta tangent té pendent $m = 1$).

2. Presenta el seu punt d'inflexió exactament en el punt del pla $(2, 6)$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions corresponent a partir de $f(0)$, $f'(0)$, $f''(2)$ i $f(2)$, i obtén els valors numèrics de $a$, $b$, $c$ i $d$.
2. b) Calcula les coordenades exactes dels extrems relatius (màxim i mínim) de la funció en tota la recta real i classifica'ls mitjançant el criteri de la segona derivada.
3. c) Demostra que tota funció cúbica posseeix simetria central respecte al seu punt d'inflexió: per a fer-ho, defineix la funció traslladada a l'origen $g(x) = f(x + 2) - 6$ i demostra formalment que $g(x)$ és una funció senar ($g(-x) = -g(x)$).