Representación gráfica de funciones

Halla los puntos de corte de la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$ con los ejes de coordenadas.

Comprueba que la función $f(x) = x^3 - x$ es impar y explica qué ventaja supone esta simetría a la hora de representarla gráficamente.

Estudia y representa la función bicuadrada $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetría, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos relativos y dibujo de la gráfica.

Estudia y representa la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: dominio, puntos de corte, asíntotas verticales y horizontales con sus límites, monotonía mediante la derivada y dibujo de la gráfica.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: dominio, puntos de corte, asíntota vertical, asíntota oblicua (realiza la división), intervalos de monotonía y extremos relativos, y dibujo de la gráfica.

Realiza el estudio completo y la representación gráfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Dominio, puntos de corte y simetrías.

1. b) Asíntotas vertical, horizontal y oblicua, con los límites correspondientes.

1. c) Intervalos de monotonía y extremos relativos.

1. d) Posición de la curva respecto de la asíntota oblicua y dibujo final.

Estudia y representa gráficamente la función $f(x) = x^3 - 3x^2$ siguiendo estos pasos:

1. a) Puntos de corte con los ejes.

1. b) Derivada, puntos singulares e intervalos de monotonía.

1. c) Máximos y mínimos relativos.

1. d) Dibuja la gráfica recogiendo toda la información anterior.

Se mide la temperatura de un vaso de agua caliente en una cocina a $20\ \text{°C}$ y se obtienen los datos de la figura. El modelo propuesto es $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, con $t$ en minutos.

1. a) Comprueba que el modelo es coherente con los primeros datos de la figura.

1. b) Estudia la monotonía de $T(t)$ para $t \geq 0$ mediante su derivada.

1. c) Calcula la asíntota horizontal e interpreta su significado físico.

1. d) Esboza la gráfica del modelo para $t \geq 0$.

Estudia y representa la función $f(x) = x + \frac{1}{x}$: dominio, simetría impar, ausencia de cortes con el eje de abscisas (razónala), asíntotas vertical y oblicua, intervalos de monotonía, extremos relativos con sus valores y dibujo.

Un ingeniero está diseñando el perfil de una montaña rusa. El primer tramo de descenso sigue la ecuación $y = -x^2 + 4$ para $x \le 1$. Para suavizar la transición hacia la subida, decide empalmar en $x = 1$ un segundo tramo con forma de parábola $y = a(x - 2)^2 + b$ para $x > 1$.

Halla los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función total debe ser continua en $x = 1$ y que en ese punto se debe producir un cambio de curvatura, formando un punto de inflexión donde las dos curvas se unen.

Una propiedad geométrica fundamental de las funciones convexas ($\cup$) es que el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de su gráfica siempre queda por encima de la curva.

Comprueba analíticamente esta propiedad para la función $f(x) = x^2$. Para ello, halla la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos de la gráfica con abscisas $x = -1$ y $x = 3$. Luego, calcula el valor de la recta en $x = 1$ y comprueba que es estrictamente mayor que $f(1)$.

Describe y dibuja en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ definida en el dominio $[-5, 5]$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Es simétrica impar (simetría respecto al origen).

• Tiene un máximo relativo en $x = 2$ y un mínimo relativo en $x = -2$.

• Tiene exactamente tres puntos de inflexión situados en $x = -3$, $x = 0$ y $x = 3$.

• Es convexa ($\cup$) en los intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

• Es cóncava ($\cap$) en los intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.