Exercicis: Interpretació gràfica de la derivada

Calcula l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 3$.

Determina l'equació de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 2x$ en el punt d'abscissa $x = -1$.

Troba les coordenades dels punts de la corba $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ en els quals la recta tangent és horitzontal.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la recta tangent traçada en el punt d'abscissa $x = 1$. A partir de les coordenades dels punts $A$ i $B$ indicats sobre la recta, determina el valor de la derivada $f'(1)$.

Observa la gràfica de la funció polinòmica $f(x)$. Sense calcular la seva expressió analítica, determina el signe de la derivada $f'(x)$ en els punts d'abscissa $x = -2$, $x = 0$ i $x = 2$, indicant si en aquests punts la funció és creixent o decreixent.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ en el punt exacte on aquesta gràfica talla l'eix d'ordenades.

La figura mostra la gràfica d'una funció quadràtica $f(x)$. A partir dels seus elements geomètrics visibles (vèrtex i punts de tall), dedueix l'expressió analítica de la seva funció derivada $f'(x)$.

Determina en quin punt exacte de la gràfica de la funció amb radicals $f(x) = \sqrt{x+4}$ la recta tangent té un pendent igual a $m = \frac{1}{4}$.

En Marcos ha de trobar l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 6$ en el punt d'abscissa $x = 3$. En el seu examen escriu el procediment següent:

«1. Calculo l'ordenada del punt: $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 6 = 3$. El punt de tangència és $(3, 3)$.

1. Trobo la funció derivada: $f'(x) = 2x - 4$, per la qual cosa el pendent de la recta tangent és $f'(3) = 2\cdot 3 - 4 = 2$.

2. Com que la recta normal és perpendicular a la tangent, el seu pendent és l'oposat, és a dir, $m_{\text{normal}} = -2$.

3. Aplico l'equació punt-pendent: $y - 3 = -2\cdot(x - 3) \implies y = -2x + 9$.»

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en el pas 3 i explica la relació geomètrica correcta entre els pendents de dues rectes perpendiculars quan cap d'elles és horitzontal ni vertical.
2. b) Corregeix el procediment i calcula l'equació correcta de la recta normal.

Donada la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + 4x - 1$:

1. a) Sense utilitzar derivades, determina les coordenades del vèrtex de la paràbola i la seva orientació (cap amunt o cap avall). A partir de la posició relativa de l'abscissa $x = 3$ respecte al vèrtex, estima de manera raonada si el pendent de la recta tangent a $x = 3$ ha de ser positiu, negatiu o nul, i quin signe esperaries per al pendent de la recta normal.
2. b) Calcula analíticament mitjançant la derivada les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 3$.
3. c) Comprova si els resultats analítics confirmen les teves estimacions de l'apartat a) i dedueix, observant l'ordenada a l'origen de la recta tangent obtinguda, si aquesta recta talla l'eix $Y$ per sobre o per sota del vèrtex de la paràbola.

La trajectòria d'un dron d'inspecció en un pla vertical segueix la corba definida per $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres. Determina en quins punts del seu recorregut la direcció del seu moviment és paral·lela a la recta d'equació $y = -3x + 5$.

Un arquitecte està dissenyant l'arc principal d'un pont que segueix la forma d'una paràbola d'equació $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que l'arc passa pel punt $(0, 5)$ i que en el punt $(2, 9)$ la recta tangent té per equació $y = 4x + 1$. Calcula els valors exactes dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

Un raig de llum incideix sobre un mirall parabòlic la secció transversal del qual respon a la funció $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el raig impacta en el punt d'abscissa $x = 2$, troba l'equació de la recta normal a la superfície en aquest punt (la qual és fonamental en òptica geomètrica per calcular l'angle de reflexió).

La figura mostra la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ d'una certa funció polinòmica $f(x)$. A partir d'aquesta, determina analíticament els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$, i indica les abscisses en què $f(x)$ presenta els seus extrems relatius.

El nombre de subscriptors d'un canal de ciència en una plataforma de vídeo creix segons la funció exponencial $S(t) = 500 e^{0,2t}$, on $t$ es mesura en setmanes. Troba l'equació de la recta tangent a la corba en l'instant $t = 5$ i utilitza-la per estimar de forma lineal el nombre de subscriptors en $t = 6$.

Determina les coordenades dels punts de la corba definida per $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ en els quals la seva recta tangent forma un angle exacte de $45^\circ$ amb el semieix positiu d'abscisses.

Donades les funcions polinòmiques $f(x) = x^2 - 3x + 2$ i $g(x) = -x^2 + 7x - 6$, troba primer els punts d'intersecció de les seves gràfiques. A continuació, calcula l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt d'intersecció que tingui una abscissa més gran.

En el disseny d'una carretera de muntanya, un tram recte donat per l'equació $y = 2x$ (per a $x \le 1$) s'ha d'unir suaument a un altre tram recte d'equació $y = -x + 6$ (per a $x \ge 3$) mitjançant una corba de transició parabòlica $f(x) = ax^2 + bx + c$ definida estrictament en l'interval $[1, 3]$. Calcula els valors de $a$, $b$ i $c$ perquè la carretera sigui contínua i derivable en tots dos punts de connexió ($x=1$ i $x=3$).

Durant una jornada d'onada de calor a Sevilla, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra l'evolució de la temperatura ambient $T$ (en graus Celsius, $^{\circ}\text{C}$) entre les 10:00 i les 18:00 hores solars ($t \in [10, 18]$), la qual es modelitza mitjançant la funció:

1. a) Obtén l'expressió de la funció derivada $T'(t)$ i interpreta el seu significat físic en termes de taxa de variació instantània de la temperatura.
2. b) Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $T$ a $t = 12$ i a $t = 16$.
3. c) A partir del signe del pendent de cadascuna d'aquestes dues tangents, raona si la temperatura estava pujant o baixant en aquests instants i calcula a quina hora solar exacta es va produir la temperatura màxima del dia, justificant per què la recta tangent en aquest punt és forçosament horitzontal.

Es considera la funció cúbica $f(x) = x^3 + a\cdot x + b$, on $a$ i $b$ son nombres reals desconeguts.

1. a) Determina els valors de $a$ i $b$ sabent que la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és $y = 5x - 7$. Justifica detalladament les dues condicions independents (una de contacte o pertinença i una altra de derivabilitat) que has de plantejar.
2. b) Un cop fixada la funció amb els coeficients obtinguts, esbrina si existeix algun altre punt a la gràfica de $f$ la recta tangent del qual sigui paral·lela a la recta donada $y = 5x - 7$. Si existeix, calcula les seves coordenades i l'equació d'aquesta recta tangent.

Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que passen per l'origen de coordenades $(0,0)$. Nota: tingues en compte que l'origen no pertany a la corba.

Determina els valors exactes dels paràmetres $a$, $b$, $c$ i $d$ perquè la funció cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tingui un extrem relatiu en el punt $(0, 2)$ i la seva recta tangent en el punt $(1, 0)$ sigui estrictament paral·lela a la recta $y = -3x$.

Demostra algebraicament que la gràfica de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ no té en tot el seu domini cap recta tangent que sigui paral·lela a la recta d'equació $y = 2x$.

Calcula l'àrea exacta del triangle format per l'eix d'abscisses, la recta tangent i la recta normal a la corba logarítmica $f(x) = \ln(x)$ en el punt d'abscissa $x = e$.

Determina per a quin conjunt de valors del paràmetre $k$ la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ no té rectes tangents horitzontals en cap punt del seu domini.

Les gràfiques de les funcions quadràtiques $f(x) = x^2 + ax + b$ i $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ són tangents entre si en el punt d'abscissa $x = 1$ (és a dir, comparteixen el mateix punt i la mateixa recta tangent en aquest punt). Calcula els valors de $a$ i $b$, i indica l'equació d'aquesta recta tangent comuna.

La figura representa la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ (composta per dos segments rectes) d'una funció contínua $f(x)$. Basant-te exclusivament en aquesta gràfica, identifica les abscisses dels extrems relatius de $f(x)$ classificant-los en màxims o mínims, i indica l'abscissa del punt d'inflexió de la funció original.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigi la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Determina el valor del paràmetre $k$ sabent que la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el seu punt d'inflexió és paral·lela a la recta bisectriu del segon i quart quadrant.

Es volen calcular les equacions de les rectes tangents a la corba $f(x) = x^2 + 1$ que passen pel punt exterior $P(1, -2)$. Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode de la Laura (enfocament diferencial): Planteja un punt genèric de tangència $T(a, f(a))$ sobre la corba, escriu l'equació de la recta tangent en funció de $a$ usant la derivada, i imposa que el punt $P(1, -2)$ satisfaci aquesta equació per aïllar els possibles valors de $a$.

• Mètode d'en Sergio (enfocament algebraic): Escriu el feix de rectes que passen per $P(1, -2)$, donat per $y - (-2) = m\cdot(x - 1)$, iguala la seva expressió amb la de la paràbola per plantejar el sistema d'intersecció ($x^2 + 1 = m(x - 1) - 2$) i exigeix que el discriminant de l'equació de segon grau resultant sigui zero ($\Delta = 0$) per forçar un únic punt de contacte doble.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes i comprova que condueixen exactament a les mateixes rectes tangents.
2. b) Compara críticament tots dos mètodes i respon de manera justificada: si la funció donada fos $g(x) = x^3 - 2x$ en lloc d'una funció quadràtica, quin dels dos mètodes deixaria de ser directament aplicable i per quin motiu conceptual?

Determina els coeficients reals $a$, $b$, $c$ i $d$ de la funció polinòmica $f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$ sabent que compleix simultàniament les tres condicions següents:

1. La recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 0$ té per equació $y = 2x - 1$.

2. La recta normal a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és paral·lela a la recta d'equació $x + 8y = 0$.

3. La gràfica de $f$ passa pel punt $(2, 3)$.

Després de trobar l'expressió analítica definitiva de $f(x)$:

1. a) Justifica quina informació geomètrica directa proporcionen l'ordenada a l'origen i el pendent de la recta tangent donada en la condició 1 respecte als coeficients $c$ i $d$.
2. b) Dedueix analíticament si existeix algun altre punt a la gràfica de $f$ on la recta tangent tingui exactament el mateix pendent que a $x = 0$ i, si és així, calcula l'abscissa d'aquest punt.