Interpretación gráfica de la derivada
Si conoces $f'(a)$ ya sabes muchísimo sobre la gráfica de $f$ cerca de $x=a$: su inclinación exacta, si sube o baja, y puedes dibujar la recta que mejor la aproxima en ese punto. Este apartado conecta el número $f'(a)$ con el dibujo.
La derivada como pendiente de la tangente
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x = 3$.
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x = 3$.
La recta normal: perpendicular a la tangente
Determina la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 2x$ en el punto de abscisa $x = -1$.
Determina la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 2x$ en el punto de abscisa $x = -1$.
Un rayo de luz incide sobre un espejo parabólico cuya sección transversal responde a la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el rayo impacta en el punto de abscisa…
Un rayo de luz incide sobre un espejo parabólico cuya sección transversal responde a la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el rayo impacta en el punto de abscisa $x = 2$, halla la ecuación de la recta normal a la superficie en ese punto (la cual es fundamental en óptica geométrica para calcular el ángulo de reflexión).
Leer el signo de $f'(x)$ en una gráfica
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente trazada en el punto de abscisa $x = 1$. A partir de las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ indicados sobre…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente trazada en el punto de abscisa $x = 1$. A partir de las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ indicados sobre la recta, determina el valor de la derivada $f'(1)$.
Observa la gráfica de la función polinómica $f(x)$. Sin calcular su expresión analítica, determina el signo de la derivada $f'(x)$ en los puntos de abscisa $x = -2$,…
Observa la gráfica de la función polinómica $f(x)$. Sin calcular su expresión analítica, determina el signo de la derivada $f'(x)$ en los puntos de abscisa $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$, indicando si en dichos puntos la función es creciente o decreciente.
De la gráfica de $f'$ a la gráfica de $f$
Un tipo de ejercicio frecuente da la gráfica de $f'(x)$, no la de $f(x)$, y pide deducir cómo es $f$: dónde crece, dónde decrece y dónde tiene extremos.
La figura muestra la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una cierta función polinómica $f(x)$. A partir de ella, determina analíticamente los intervalos de…
La figura muestra la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una cierta función polinómica $f(x)$. A partir de ella, determina analíticamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$, e indica las abscisas en las que $f(x)$ presenta sus extremos relativos.
La figura representa la gráfica de la función derivada $f'(x)$ (compuesta por dos segmentos rectos) de una función continua $f(x)$. Basándote exclusivamente en esta…
La figura representa la gráfica de la función derivada $f'(x)$ (compuesta por dos segmentos rectos) de una función continua $f(x)$. Basándote exclusivamente en esta gráfica, identifica las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos, e indica la abscisa del punto de inflexión de la función original.
Rectas tangentes con condiciones
A veces no se pide directamente $f'(a)$, sino encontrar tangentes que cumplan una condición: ser paralelas a una recta dada, pasar por un punto que no está en la curva, o ajustar parámetros para que la gráfica pase por ciertos puntos con una pendiente concreta.
Un arquitecto está diseñando el arco principal de un puente que sigue la forma de una parábola de ecuación $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que el arco pasa por el punto…
Un arquitecto está diseñando el arco principal de un puente que sigue la forma de una parábola de ecuación $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que el arco pasa por el punto $(0, 5)$ y que en el punto $(2, 9)$ la recta tangente tiene por ecuación $y = 4x + 1$. Calcula los valores exactos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
Halla las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el origen de coordenadas $(0,0)$. Nota: ten en cuenta que el origen no…
Halla las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el origen de coordenadas $(0,0)$. Nota: ten en cuenta que el origen no pertenece a la curva.