Exercicis: Definició de derivada d'una funció en un punt

Calcula, utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ per a la funció $f(x) = x^2 + 3$.

Troba la taxa de variació instantània (derivada) de la funció $f(x) = 3x - 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$, aplicant el límit del quocient d'increments.

L'espai recorregut per un objecte en caiguda lliure en un planeta fictici ve donat per $s(t) = 4t^2$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons. Calcula la velocitat instantània en $t = 3$ s aplicant la definició de derivada com a límit.

Donada la funció $f(x) = 2x^2 - x$, utilitza l'expressió alternativa de la definició $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ per trobar la derivada en el punt $a = -1$.

Demostra, calculant explícitament els límits laterals del quocient d'increments, que la funció de valor absolut $f(x) = |x - 3|$ no és derivable en el punt $x = 3$.

Un ciclista en un velòdrom recorre una distància donada per la funció $d(t) = t^2 + 5t$ (mesurada en metres, amb $t$ en segons). Calcula la seva velocitat instantània en $t = 2$ segons usant estrictament la definició de derivada per límits.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = x^2$ en el punt d'abscissa $x = 2$. Per fer-ho, calcula primer el pendent $m = f'(2)$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit.

Calcula la derivada de la funció constant $f(x) = 7$ en el punt $x = 5$ aplicant la definició formal amb el límit. Explica breument el significat geomètric del resultat obtingut.

En Pablo vol calcular el pendent de la recta tangent a la gràfica de $f(x) = 2x^2 - 3x$ en el punt d'abscissa $a = 1$ utilitzant la definició formal de derivada mitjançant el límit del quocient incremental. En el seu quadern escriu el desenvolupament següent:

I conclou que el pendent de la recta tangent és $-3$, de manera que la seva equació és $y - (-1) = -3(x - 1)$.

1. a) Localitza i explica detalladament l'error algebraic que ha comès en Pablo en plantejar i desenvolupar l'expressió $f(1+h)$.
2. b) Corregeix el càlcul resolent de manera correcta el límit per trobar el valor vertader de $f'(1)$.
3. c) Amb el valor corregit, escriu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt $(1, f(1))$.

Per calcular la derivada de la funció racional $f(x) = \frac{1}{x+2}$ en el punt d'abscissa $a = 1$, disposes de dues fórmules equivalents basades en el límit del quocient d'increments:

• Mètode A (increment $h$): $f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

• Mètode B (aproximació a l'abscissa): $f'(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

1. a) Planteja l'expressió algebraica de la fracció que s'obté en el numerador abans de calcular el límit en cadascun dels dos mètodes.
2. b) Compara ambdós camins: descriu quina indeterminació apareix en cadascun i quines manipulacions algebraiques (operar fraccions, simplificar factors) exigeix cada mètode. Justifica raonadament quin dels dos et sembla més directe o menys exposat a confusions amb els signes.
3. c) Resol el límit emprant el mètode que hagis triat i raona si el signe del pendent obtingut és coherent amb el fet que la funció sigui decreixent al voltant de $x = 1$.

Utilitzant la definició de derivada mitjançant límits, calcula $f'(3)$ per a la funció racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Troba la derivada de la funció amb radicals $f(x) = \sqrt{x + 5}$ en el punt $x = 4$, aplicant la definició de derivada com a límit i operant amb el conjugat per resoldre la indeterminació.

En una fàbrica de components tecnològics, el cost total de producció de $q$ unitats ve donat per la funció $C(q) = 100 + 2q + 0,1q^2$ en euros. Determina el cost marginal (la derivada de la funció de cost) quan es produeixen exactament $q = 20$ unitats, resolent el límit de la definició formal de derivada.

Estudia si la funció següent definida a trossos és derivable en $x = 2$, comprovant prèviament la seva continuïtat i aplicant després la definició de derivades laterals:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Troba l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en l'origen de coordenades. Has de calcular el pendent avaluant el límit de la definició de derivada en $x = 0$.

L'altitud d'un dron d'observació agrícola segueix l'equació $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, amb l'altura $h$ expressada en metres i el temps $t$ en segons. Utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit per a un punt genèric $t$, obtén la funció velocitat $v(t) = h'(t)$ i determina en quin instant exacte el dron aconsegueix la seva altura màxima (quan la seva velocitat és nul·la).

La gràfica adjunta mostra una funció contínua que presenta un punt angulós. Defineix analíticament una funció amb valor absolut que es correspongui amb aquesta gràfica i demostra rigorosament, calculant els límits laterals del quocient d'increments, per què la funció no és derivable en $x = 2$.

Calcula, mitjançant la definició de derivada amb el límit per a un punt genèric $x$, la funció derivada $f'(x)$ de $f(x) = x^3 - 3x$. A continuació, utilitza el resultat obtingut per trobar els punts de la corba on la recta tangent és completament horitzontal.

Considera la funció $f(x) = x^3 - 4x$ i el punt d'abscissa $a = 2$.

1. a) Abans de calcular la derivada exacta, fes una estimació numèrica de $f'(2)$. Per a fer-ho, calcula la taxa de variació mitjana (pendent de la recta secant) en dos intervals pròxims al punt: un per la seva dreta, $[2; 2,05]$, i un altre per la seva esquerra, $[1,95; 2]$. A partir d'ambdós resultats, proposa un valor enter estimat per a $f'(2)$.
2. b) Calcula el valor exacte de $f'(2)$ utilitzant rigorosament la definició de derivada mitjançant el límit del quocient incremental:

1. c) Compara la teva estimació inicial amb el resultat exacte. Explica la relació geomètrica que hi ha entre els pendents de les dues rectes secants calculades a l'apartat a) i el pendent de la recta tangent obtingut a l'apartat b).

Segons els registres d'una estació meteorològica d'AEMET en una jornada primaveral, la temperatura ambient $T$ (en graus Celsius, $^{\circ}\text{C}$) evoluciona entre les $7:00$ ($t = 0$) i les $13:00$ ($t = 6$) seguint el model:

on $t$ és el temps mesurat en hores transcorregudes des de les $7:00$.

1. a) Escriu l'expressió del quocient incremental que mesura la taxa de variació mitjana de la temperatura entre les $9:00$ ($t = 2$) i un instant posterior qualsevol $2+h$ hores.
2. b) Calcula la taxa de variació instantània de la temperatura a les $9:00$ ($t = 2$) calculant el límit del quocient incremental quan $h \to 0$. Expressa el resultat numèric acompanyat de les seves unitats físiques i interpreta'n el significat.
3. c) Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $T(t)$ en el punt corresponent a $t = 2$.
4. d) Utilitza la recta tangent per estimar la temperatura a les $9:15$ ($t = 2,25$) i avalua la precisió d'aquesta aproximació comparant-la amb el valor real que prediu el model quadràtic $T(2,25)$.

Determina els valors exactes dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció definida a trossos

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

sigui derivable en $x = 1$. Has de justificar la teva resposta aplicant la definició de continuïtat i avaluant els límits de les derivades laterals mitjançant el quocient d'increments.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ en el punt $x = 1$ recorrent exclusivament a la definició de derivada com a límit. Mostra tots els passos algebraics necessaris per resoldre la indeterminació.

Suposa que $f(x)$ és una funció parell (és a dir, compleix que $f(-x) = f(x)$ per a tot nombre real $x$) i que se sap que és derivable en el punt d'abscissa $x = 0$. Demostra analíticament, utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, que necessàriament s'ha de complir que $f'(0) = 0$.

La temperatura $T$ (mesurada en graus Celsius) d'un processador d'ordinador en funció del temps $t$ (en minuts) després d'iniciar un procés intensiu de càlcul ve donada per l'expressió $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$. Calcula el ritme d'escalfament instantani (la derivada) exactament en $t = 2$ minuts, avaluant pas a pas el límit de la definició de derivada.

Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^3 - x$ que siguin estrictament paral·leles a la recta d'equació $y = 2x + 1$. Per resoldre-ho, has d'obtenir primer l'expressió general del pendent $f'(x)$ aplicant la definició de derivada per límits.

Donada la funció $f(x) = x|x|$, demostra mitjançant la definició de derivada calculant els límits laterals del quocient d'increments, que la funció és suau (derivable) en $x = 0$ i troba el valor exacte de $f'(0)$.

Emprant la definició general de derivada $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, demostra pas a pas que la funció derivada de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ és exactament $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ per a qualsevol valor de $x > 0$.

El benefici trimestral d'una empresa d'energies renovables en funció de la seva inversió $x$ (en milions d'euros) segueix un model quadràtic de la forma $B(x) = -ax^2 + bx$. Sabent que el benefici màxim s'assoleix amb una inversió exacta de $10$ milions d'euros i que aquest benefici màxim ascendeix a $500$ milions, dedueix els valors de les constants $a$ i $b$. Posteriorment, demostra mitjançant la definició de derivada per límits que la taxa de variació instantània en aquest punt compleix $B'(10) = 0$.

Es considera el límit següent, que representa la derivada d'una funció desconeguda en un punt:

1. a) Comparant aquesta expressió amb la definició $f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, identifica de manera justificada la funció $f(x)$ i el valor de l'abscissa $a$. A continuació, resol la indeterminació per determinar el valor exacte del límit $L$.
2. b) Construeix una funció racional de la forma $g(x) = \frac{k}{x - c}$ (on $k$ i $c$ són constants reals que has de determinar) que compleixi dues condicions a $x = 4$:

1. $g(4) = f(4)$.

2. La recta tangent a la gràfica de $g$ a $x = 4$ és paral·lela a la recta tangent a la gràfica de $f$ en aquest mateix punt.

Calcula els valors exactes de $k$ i $c$ obtenint la derivada $g'(4)$ mitjançant el límit del seu quocient incremental.

1. c) Escriu l'equació de la recta tangent comú a ambdues corbes en el punt d'abscissa $x = 4$.

La Sofía ha d'estudiar la derivabilitat en el punt $x = 1$ de la funció definida a trossos:

En el seu examen escriu la justificació següent:

«Calculo la derivada de cada tram per separat: la derivada a l'esquerra ($x < 1$) és $2x + 2$, que en avaluar-la a $x = 1$ val $2\cdot 1 + 2 = 4$. La derivada a la dreta ($x > 1$) és la constant $4$. Com que ambdues derivades laterals coincideixen ($4 = 4$), afirmo que la funció és derivable a $x = 1$ i la seva derivada val $f'(1) = 4$».

1. a) Assenyala l'error conceptual fonamental de la Sofía en donar per suposada una propietat imprescindible abans d'analitzar la derivabilitat. Demostra si aquesta propietat es compleix o no a $x = 1$.
2. b) Aplica la definició formal de derivada mitjançant els límits laterals del quocient incremental:

Calcula detalladament ambdós límits i indica quin resultat algebraic dona cadascun.

1. c) Conclou raonadament si $f$ és derivable a $x = 1$ i explica per què la regla pràctica de «derivar les branques i substituir» condueix a una conclusió errònia quan no es respecten les definicions de partida.