Definición de derivada de una función en un punto
En 4º ya viste que, al estrechar el intervalo $[a, a+h]$ hasta que $h$ tiende a $0$, la tasa de variación media se estabiliza en un número. Ahora toca escribirlo con todo el rigor del límite: esa es la derivada, y en 1º de Bachillerato vas a manejarla como una herramienta de cálculo, no solo como una idea intuitiva.
El límite del cociente incremental
Calcula, utilizando la definición de derivada mediante el límite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^2 + 3$.
Calcula, utilizando la definición de derivada mediante el límite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^2 + 3$.
Halla la tasa de variación instantánea (derivada) de la función $f(x) = 3x - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$, aplicando el límite del cociente de incrementos.
Halla la tasa de variación instantánea (derivada) de la función $f(x) = 3x - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$, aplicando el límite del cociente de incrementos.
Dos formas de escribir la misma definición
Dada la función $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza la expresión alternativa de la definición $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrar la derivada en el…
Dada la función $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza la expresión alternativa de la definición $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrar la derivada en el punto $a = -1$.
Utilizando la definición de derivada mediante límites, calcula $f'(3)$ para la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.
Utilizando la definición de derivada mediante límites, calcula $f'(3)$ para la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.
Derivadas laterales y puntos angulosos
Igual que con los límites, si el cociente incremental se calcula solo con $h\to0^+$ o $h\to0^-$ se obtienen las derivadas laterales. La función es derivable en $a$ solo si las dos existen y coinciden.
Demuestra, calculando explícitamente los límites laterales del cociente de incrementos, que la función de valor absoluto $f(x) = |x - 3|$ no es derivable en el punto…
Demuestra, calculando explícitamente los límites laterales del cociente de incrementos, que la función de valor absoluto $f(x) = |x - 3|$ no es derivable en el punto $x = 3$.
Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas…
Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas laterales:
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Derivabilidad y continuidad
Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas…
Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas laterales:
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Usar la definición para hallar la recta tangente
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$. Para ello, calcula primero la pendiente $m = f'(2)$ utilizando la…
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$. Para ello, calcula primero la pendiente $m = f'(2)$ utilizando la definición de derivada mediante el límite.
Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en el origen de coordenadas. Debes calcular la pendiente evaluando el límite de la…
Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en el origen de coordenadas. Debes calcular la pendiente evaluando el límite de la definición de derivada en $x = 0$.
Encuentra las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^3 - x$ que sean estrictamente paralelas a la recta de ecuación $y = 2x + 1$. Para resolverlo,…
Encuentra las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^3 - x$ que sean estrictamente paralelas a la recta de ecuación $y = 2x + 1$. Para resolverlo, debes obtener primero la expresión general de la pendiente $f'(x)$ aplicando la definición de derivada por límites.