Secciones cónicas y lugares geométricos
Una antena de telecomunicaciones, la órbita de un planeta, el cable de un puente colgante y el reflector de un faro no tienen nada que ver entre sí. Y sin embargo, las curvas que describen son solo cuatro, y las cuatro salen de cortar un cono con un plano. Vas a conocerlas como lugares geométricos: el conjunto de puntos que cumplen una condición de distancias. La circunferencia ya la conoces de 3º ESO; ahora llegan la elipse, la hipérbola y la parábola.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Repaso: el lugar geométrico como herramienta
Repasa la circunferencia como lugar geométrico: arrastra P hasta que $OP$ valga siempre lo mismo.
Las cuatro cónicas de este tema son lugares geométricos un poco más elaborados: en vez de una sola distancia fija, imponen una relación entre dos distancias (a uno o dos puntos fijos, o a un punto y una recta).
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Construir la ecuación paso a paso
El método es siempre el mismo: llamas $P(x,y)$ al punto genérico, escribes la condición con las fórmulas de distancia, y simplificas hasta quitar las raíces.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Condiciones con distancias al cuadrado
Algunas condiciones ya vienen sin raíces: piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. Son incluso más rápidas de trabajar.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
Este número $e$ —la excentricidad— va a reaparecer en cada una de las próximas tres secciones: mide lo "achatada" que es la curva respecto a su forma más simple, la circunferencia.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.