Exercicis: Seccions còniques i llocs geomètrics

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla que equidisten dels punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$. Quina figura geomètrica representa?

Determina les equacions dels llocs geomètrics dels punts que equidisten de les rectes secants $r: 3x - 4y + 5 = 0$ i $s: 4x + 3y - 1 = 0$.

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla la distància dels quals a l'origen de coordenades és sempre igual a $5$.

Troba el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la diferència de quadrats de distàncies dels quals als punts $A(1,0)$ i $B(-1,0)$ és igual a $8$, és a dir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.

Un con de revolució es talla amb un pla que no passa pel seu vèrtex. Si el pla és paral·lel a una única generatriu del con, quina secció cònica s'obté? Justifica la teva resposta basant-te en la definició geomètrica de les seccions còniques.

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que la suma dels quadrats de les seves distàncies als punts $A(2,0)$ i $B(-2,0)$ és igual a $20$.

Troba les equacions del lloc geomètric dels punts del pla que es troben a una distància constant de $3$ unitats de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten de les rectes paral·leles $r: x + 2y - 4 = 0$ i $s: x + 2y + 6 = 0$.

En Marcos ha de trobar l'equació del lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la diferència dels quadrats de les distàncies dels quals als punts $A(-1, 3)$ i $B(3, 3)$ és igual a $16$, és a dir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 16$.

Sense fer cap càlcul algebraic, en Marcos escriu al seu examen:

«Com que la cònica anomenada hipèrbola es defineix a partir d'una resta de distàncies a dos punts fixos, aquest lloc geomètric és obligatòriament una hipèrbola centrada en el punt mitjà $(1, 3)$».

1. a) Explica detalladament l'error conceptual d'en Marcos: què confon en la definició mètrica de la hipèrbola i per què la presència de les distàncies al quadrat canvia completament el tipus de lloc geomètric obtingut?
2. b) Corregeix l'exercici: planteja la igualtat a partir de les coordenades genèriques de $P(x,y)$, desenvolupa els quadrats, simplifica l'expressió i descriu amb precisió geomètrica la figura resultant (indicant-ne el tipus i la posició relativa respecte al segment $AB$).

Es vol determinar l'equació del lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que la suma dels quadrats de les seves distàncies als punts $A(-2, 1)$ i $B(4, 5)$ és igual a $50$, és a dir, $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 50$.

Per resoldre-ho, dos estudiants discuteixen quina estratègia seguir:

• Mètode analític (Lucía): substituir $P(x,y)$, desenvolupar els quatre binomis al quadrat, agrupar tots els termes en la forma general $x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0$ i finalment completar quadrats per identificar els elements de la cònica.

• Mètode sinteticogeomètric (Hugo): basar-se en la propietat teòrica que aquest lloc geomètric és una circumferència el centre $C$ de la qual coincideix amb el punt mitjà d'$AB$; calcular les coordenades de $C$ i determinar el radi avaluant la condició mètrica en un punt auxiliar o aplicant el teorema de la mediana.

1. a) Desenvolupa completament la resolució aplicant el mètode analític de la Lucía fins a obtenir l'equació canònica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. b) Aplica el raonament geomètric de l'Hugo per trobar el centre $C$ a partir d'$A$ i $B$, i comprova que coincideix amb l'obtingut a l'apartat anterior.
3. c) Compara els dos camins: quin resulta més ràpid i quin presenta menys risc de cometre errors de càlcul algebraic? Justifica quin recomanaries en un examen.

En un projecte de telecomunicacions, s'ubiquen dues antenes emissores en els punts $A(-3,0)$ i $B(3,0)$ d'un pla cartesià (en km). Un receptor $R(x,y)$ es mou de manera que la seva distància a l'antena $A$ és sempre el doble que la seva distància a l'antena $B$. Troba l'equació del lloc geomètric que descriu el receptor i identifica de quina cònica es tracta, indicant-ne el centre i el radi.

El reflector d'un far marítim té un perfil dissenyat de manera que la distància de qualsevol punt de la seva superfície al focus emissor de llum, situat a $F(0,2)$, és exactament igual a la seva distància a una línia de referència horitzontal d'equació $y = -2$. Determina l'equació del lloc geomètric del perfil del reflector.

Per dissenyar un parterre el·líptic en un parc, un jardiner clava dues estaces a terra en els punts $(-3,0)$ i $(3,0)$ (mesures en metres). Després, lliga els extrems d'una corda de $10\text{ m}$ de longitud a totes dues estaces i, mantenint la corda tensa amb un punxó, traça el contorn sobre la terra. Troba l'equació del lloc geomètric de la vora del parterre.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un sistema de navegació hiperbòlica, un vaixell rep senyals de ràdio simultanis des de dues estacions costaneres ubicades a $A(-5,0)$ i $B(5,0)$ (en desenes de km). El retard en la recepció del senyal indica que el vaixell es troba sempre $60\text{ km}$ més a prop de l'estació $B$ que de l'estació $A$. Obtén l'equació del lloc geomètric sobre el qual navega el vaixell.

En el pla d'una ciutat, dues avingudes rectes segueixen les equacions $r: 2x + y - 4 = 0$ i $s: x - 2y + 3 = 0$. Es vol construir una plaça en un punt que equidisti de totes dues avingudes i que, per restriccions urbanístiques, estigui situat sobre el carrer de vianants $x + y = 5$. Calcula les coordenades de les possibles ubicacions per a la plaça.

L'extrem $P(x,y)$ d'un braç robòtic industrial està programat per moure's de tal manera que la seva distància a la recta de seguretat $x = -4$ és sempre el doble de la seva distància al punt d'ancoratge $F(-1,0)$. Determina l'equació de la trajectòria que descriu l'extrem del braç i identifica quin tipus de cònica representa.

Tres sensors sísmics estan ubicats en les coordenades $A(0,0)$, $B(4,0)$ i $C(0,4)$. Un dron de calibratge vola en el mateix pla de manera que la suma dels quadrats de les seves distàncies als tres sensors es manté constant i igual a $50$. Troba l'equació del lloc geomètric de la trajectòria del dron i descriu la figura resultant.

Durant una excavació arqueològica es descobreix un fragment de la vora d'un plat circular antic. Per reconstruir-ne la mida original, es digitalitza el fragment i es prenen tres punts del seu contorn: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ i $C(4, 1)$. Utilitzant el concepte de lloc geomètric (intersecció de mediatrius), calcula les coordenades del centre original del plat i el seu radi.

A les proximitats de l'estret de Gibraltar, el centre de Salvament Marítim monitora la posició d'una embarcació avariada $P(x,y)$. L'estació de radar costanera se situa en el punt fix $F(0, 3)$ (coordenades en milles nàutiques) i una línia recta d'abalisament marítim segueix l'equació $r: y = 12$. Els sistemes de navegació constaten que la distància de l'embarcació a l'estació de radar és en tot instant la meitat de la seva distància a la línia d'abalisament.

1. a) Identifica raonadament quin tipus de secció cònica descriu l'embarcació (el·lipse, paràbola o hipèrbola), determinant el valor numèric de la seva excentricitat $e$ a partir de la definició mètrica respecte a focus i directriu.
2. b) Dedueix l'equació cartesiana de la trajectòria desenvolupant la condició mètrica $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ amb les coordenades de $P(x,y)$.
3. c) Escriu l'equació obtinguda en la seva forma canònica reduïda, indica les coordenades del seu centre i calcula la distància mínima a la qual passarà l'embarcació de la línia d'abalisament $y = 12$.

Considera els punts fixos $A(1, 2)$ i $B(7, 2)$ en el pla cartesià. Es busca determinar el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la suma de quadrats de distàncies dels quals satisfà $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 36$.

1. a) Estima: abans de fer operacions algebraiques:

• Raona en quines coordenades exactes s'ha de situar el centre de la cònica esperada.

• Calcula la distància entre $A$ i $B$. Si avalues la condició de distàncies directament en el punt $A$, quin valor obtens? Dedueix si els mateixos punts $A$ i $B$ pertanyen a la corba i quin ha de ser llavors el valor del radi.

1. b) Comprova: planteja analíticament la condició substituint les coordenades de $P(x,y)$, desenvolupa els binomis al quadrat i completa quadrats per obtenir l'equació canònica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. c) Conclou: compara el centre i el radi calculats a b) amb les teves estimacions d'a). Explica amb arguments geomètrics per què el punt mitjà del segment $AB$ no pertany a aquest lloc geomètric malgrat ser el centre de la circumferència.

Un mòbil es desplaça en el pla cartesià de manera que la seva distància a la recta vertical $x = k$ és igual a la seva distància al punt fix $F(2,0)$. Determina l'equació del lloc geomètric en funció del paràmetre $k$. Per a quin valor exacte de $k$ el lloc geomètric degenera en una recta en lloc de formar una paràbola?

Demostra analíticament que el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la distància dels quals a l'origen $O(0,0)$ és igual a $e$ vegades la seva distància a la recta $x = d$ (amb $e > 0$ i $d > 0$) representa una el·lipse si $e < 1$, una paràbola si $e = 1$ i una hipèrbola si $e > 1$. Escriu l'equació general obtinguda abans de classificar-la.

En un estudi acústic, dues fonts sonores emeten ones sobre eixos perpendiculars que coincideixen amb els eixos de coordenades. El lloc geomètric dels punts on el producte de les distàncies a tots dos eixos és constant i igual a $16$ defineix unes corbes isofòniques. Troba l'equació del lloc geomètric i demostra que està format per dues hipèrboles equilàteres, calculant la distància exacta entre els vèrtexs de cadascuna d'elles.

Una càmera de seguretat ubicada en un punt mòbil $P(x,y)$ ha de vigilar un passadís lineal definit pel segment $AB$, amb extrems a $A(-4,0)$ i $B(4,0)$. Perquè els sensors de la càmera funcionin de manera òptima, l'angle de visió $\angle APB$ ha de ser exactament de $90^\circ$. Troba analíticament el lloc geomètric de les possibles posicions de la càmera, excloent els punts $A$ i $B$. Descriu la figura resultant.

En el disseny d'un sistema de fluids, s'ha d'instal·lar un conducte cilíndric la secció transversal del qual pot variar de mida, però sempre ha de ser tangent a l'eix d'abscisses i passar obligatòriament per un sensor fix situat a $P(0,2)$. Troba l'equació del lloc geomètric que descriuen els possibles centres $C(x,y)$ d'aquesta secció transversal i identifica la cònica.

En un mecanisme articulat, dues varetes giren al voltant dels pivots fixos $A(-a,0)$ i $B(a,0)$. El mecanisme està dissenyat de manera que el producte dels pendents de totes dues varetes en el seu punt d'intersecció $P(x,y)$ és sempre una constant negativa $-k^2$ (amb $k > 0$). Demostra que el lloc geomètric del punt $P$ és una el·lipse i determina la longitud dels seus semieixos en funció de $a$ i $k$.

Un raig làser parteix del focus $F_1(c,0)$ d'una el·lipse reflectant, rebota en un punt $P(x,y)$ de la seva superfície i arriba directament a l'altre focus $F_2(-c,0)$. Si la distància total recorreguda pel raig de llum és de $10$ unitats i la distància focal és de $6$ unitats, dedueix l'equació reduïda del lloc geomètric de l'el·lipse utilitzant la seva definició basada en distàncies.

Un veler navega de manera que la diferència dels quadrats de les seves distàncies a dues boies situades a $A(-3, -1)$ i $B(5, 5)$ és sempre constant i igual a $32$. És a dir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Troba l'equació del lloc geomètric de la trajectòria del veler i demostra analíticament que aquesta trajectòria és una recta perpendicular al segment que uneix les dues boies.

En el departament de dinàmica de vehicles d'un centre tecnològic es dissenya una pista de proves. El traçat segueix una secció cònica definida com el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la distància dels quals a un sensor situat a $F(4, 0)$ és proporcional a la seva distància a una barrera de seguretat rectilínia vertical $r: x = x_0$, complint la relació focal $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$.

Les restriccions topogràfiques obliguen que la trajectòria talli l'eix d'abscisses exactament en dos punts: $V_1(2, 0)$ i $V_2(-10, 0)$.

1. a) Planteja el sistema de dues equacions que relaciona l'excentricitat $e$ i la posició de la directriu $x_0$ a partir dels punts $V_1$ i $V_2$. Resol-lo i descarta la solució no vàlida geomètricament (aquella en què la directriu conté el focus), obtenint els valors exactes d'$e$ i $x_0$.
2. b) Classifica de manera justificada la cònica a partir del valor d'$e$. Desenvolupa analíticament la condició $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ fins a obtenir l'equació cartesiana de la corba en forma reduïda.
3. c) A partir de l'equació reduïda, calcula les coordenades del centre de simetria de la cònica i les coordenades del seu segon focus $F'$.

Donats els punts fixos $A(0, 0)$ i $B(6, 0)$ en el pla cartesià i un paràmetre real $k$, es defineix la família de llocs geomètrics $\mathcal{L}_k$ mitjançant la condició $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = k$.

1. a) Desenvolupa l'equació analítica de $\mathcal{L}_k$ en funció de $k$ i determina el valor mínim $k_{\min}$ per al qual el lloc geomètric no és el conjunt buit. Interpreta quina figura geomètrica degenerada representa el cas $k = k_{\min}$.
2. b) Per a $k > k_{\min}$, $\mathcal{L}_k$ és una circumferència. Expressa el seu radi $R(k)$ en funció del paràmetre $k$ i troba el valor exacte de $k$ per al qual aquesta circumferència és tangent a l'eix d'ordenades $OY$.
3. c) Per al valor de $k$ obtingut a l'apartat b), considera la família de rectes $\mathcal{R}_m$ donades pel lloc geomètric $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = m$. Sense plantejar cap sistema d'equacions algebraic entre la recta i la circumferència, utilitza exclusivament les propietats geomètriques d'ambdós llocs geomètrics per deduir els dos únics valors de $m$ que fan que $\mathcal{R}_m$ sigui tangent a $\mathcal{L}_k$, indicant les coordenades dels respectius punts de tangència.