Exercicis: Exercicis

Troba l'equació de la mediatriu del segment els extrems del qual són els punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$.

Escriu les equacions de les bisectrius dels angles formats per les rectes $r: 3x - 4y + 12 = 0$ i $s: 5x + 12y - 10 = 0$.

Determina les coordenades del centre i la longitud del radi de la circumferència l'equació general de la qual és $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.

Una circumferència té el centre en el punt $C(-3, 5)$ i passa per l'origen de coordenades. Escriu la seva equació reduïda i la seva equació general.

Troba la longitud dels semieixos, les coordenades dels focus i l'excentricitat de l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina els seus vèrtexs, els seus focus i les equacions de les seves asímptotes.

Troba les coordenades del vèrtex, del focus i l'equació de la recta directriu de la paràbola $y^2 = -20x$.

Identifica el lloc geomètric dels punts del pla la diferència de distàncies dels quals, en valor absolut, als punts $F_1(5, 0)$ i $F_2(-5, 0)$ és sempre igual a $8$. Escriu la seva equació reduïda.

En un examen de Geometria Analítica, en Marcos es troba amb l'enunciat següent: «Determina el lloc geomètric dels punts $P(x, y)$ del pla la distància dels quals al punt $A(-3, 0)$ és exactament el triple de la seva distància al punt $B(1, 0)$». Sense fer operacions, en Marcos afirma: «Com que hi intervenen dos punts fixos que actuen com a focus i una constant de proporcionalitat, la corba resultant és amb total seguretat una el·lipse amb focus a $A$ i $B$».

1. a) Explica raonadament l'error conceptual comès per en Marcos a partir de la definició mètrica rigorosa de l'el·lipse enfront de la condició donada a l'enunciat.
2. b) Planteja analíticament la condició de l'enunciat ($d(P, A) = 3 \cdot d(P, B)$), elimina els radicals i obtén l'equació reduïda o ordinària de la cònica per demostrar a en Marcos quina figura geomètrica s'obté realment, especificant les coordenades del seu centre i el valor del seu radi.

Dissenya i construeix, justificant l'elecció de cada paràmetre, l'equació general d'una cònica de la forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ amb coeficients enters que satisfaci de manera simultània les tres condicions següents:

1) És una hipèrbola equilàtera (les seves asímptotes són perpendiculars entre si i es compleix que $a = b$).

2) El seu centre està situat al punt $C(2, -1)$.

3) Passa per l'origen de coordenades $(0, 0)$.

Un cop obtinguda l'equació general desenvolupada, explica detalladament quina relació entre els signes i valors dels coeficients $A$ i $B$ garanteix que la cònica sigui una hipèrbola i per què les seves asímptotes resulten perpendiculars.

Tres estacions sísmiques detecten un terratrèmol en les coordenades $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ i $C(5, -2)$ (en quilòmetres). Suposant que les ones sísmiques viatgen a la mateixa velocitat i arriben al mateix temps a les tres estacions, troba les coordenades de l'epicentre i el radi de la zona afectada (distància a les estacions).

Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un planeta, el qual es troba situat en un dels seus focus. La distància mínima del satèl·lit al planeta (periastre) és de $3 \text{ Mm}$ i la distància màxima (apoastre) és de $9 \text{ Mm}$. Determina l'equació de l'òrbita i la seva excentricitat, assumint que el centre de l'el·lipse és a l'origen i l'eix focal coincideix amb l'eix d'abscisses.

La secció transversal d'una torre de refrigeració nuclear té forma de hipèrbola. La part més estreta de la torre fa $40 \text{ m}$ d'amplada i es troba a $50 \text{ m}$ d'altura sobre el terra. Si la base de la torre té una amplada de $80 \text{ m}$, troba l'equació de la hipèrbola assumint que el seu centre coincideix amb el centre de la part més estreta.

El cable principal d'un pont penjant adopta forma parabòlica. Les dues torres que el sostenen estan separades $120 \text{ m}$ i tenen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tauler del pont. El punt més baix del cable es troba a $10 \text{ m}$ sobre el tauler. Determina l'equació de la paràbola i calcula l'altura del cable a $30 \text{ m}$ del centre del pont.

Un radar marítim té un abast de detecció modelat pel cercle $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un vaixell segueix una trajectòria rectilínia donada per l'equació $3x + 4y + k = 0$. Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals el vaixell és detectat pel radar en algun moment de la seva trajectòria.

Un dron submarí es mou de manera que la seva distància a una boia fixa a $A(-2, 0)$ és sempre el doble de la seva distància a una altra boia fixa a $B(4, 0)$. Troba l'equació de la trajectòria del dron, simplifica-la i identifica quin tipus de corba geomètrica descriu.

Un raig làser incideix sobre un mirall el·líptic la forma del qual ve donada per l'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punt d'incidència té abscissa $x = 3$ i ordenada positiva. Troba l'equació de la recta tangent al mirall en aquest punt.

Calcula els punts d'intersecció entre la circumferència $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ i la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gràficament la situació mostrant ambdós llocs geomètrics i els punts de tall.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera l'el·lipse d'equació reduïda $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ i la recta $r: x + y - 4 = 0$.

1. a) Abans d'operar algebraicament, fes una estimació geomètrica raonada: obtén els quatre vèrtexs de l'el·lipse, determina els punts de tall de la recta $r$ amb els eixos coordenats i dedueix de manera justificada si la recta és exterior, tangent o secant a l'el·lipse, indicant si esperes trobar zero, un o dos punts de tall.
2. b) Comprova la teva estimació mitjançant el mètode analític: planteja el sistema d'equacions, substitueix la recta a l'el·lipse, calcula el discriminant ($\Delta$) de l'equació de segon grau resultant i interpreta el seu signe. Finalment, troba les coordenades exactes dels punts de contacte per confirmar si la teva previsió inicial era encertada.

Inspirant-se en la cèlebre «Sala de los Secretos» del Monestir d'El Escorial (Madrid), una sala de divulgació científica té una volta de secció semiel·líptica per aprofitar la propietat acústica focal: qualsevol xiuxiueig emès des d'un dels seus focus rebota al sostre i se sent amb nitidesa a l'altre focus. La base horitzontal del terra fa $10\text{ m}$ d'amplada (eix major coincident amb el terra) i l'alçària màxima al centre de la sala és de $3\text{ m}$.

1. a) Situa l'origen de coordenades al centre del terra i escriu l'equació reduïda de l'el·lipse que modelitza la secció de la sostrada, identificant els semieixos $a$ i $b$.
2. b) A quina distància exacta de les parets laterals s'han de col·locar drets dos visitants per ubicar-se sobre els focus acústics i experimentar el fenomen?
3. c) Una escultura vertical de $2,5\text{ m}$ d'alçària s'ha de col·locar dreta sobre el terra a una distància horitzontal de $3\text{ m}$ respecte al centre de la sala. Justifica mitjançant el càlcul de l'alçària del sostre en aquest punt si l'escultura fregarà o no amb la sostrada.

Un cometa segueix una trajectòria parabòlica donada per l'equació $y^2 = 8x$. Un asteroide segueix una òrbita hiperbòlica equilàtera descrita per $x^2 - y^2 = 9$. Troba les coordenades exactes dels punts d'intersecció de totes dues trajectòries.

Des d'una estació de control situada en el punt $P(0, 7)$ s'envien senyals làser a un satèl·lit l'òrbita circular del qual en aquest instant ve donada per l'equació $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Troba les equacions de les dues trajectòries rectilínies tangents a l'òrbita des de l'estació de control.

Troba el lloc geomètric dels punts del pla $P(x, y)$ tals que el producte dels pendents de les rectes que els uneixen amb els punts fixos $A(-4, 0)$ i $B(4, 0)$ és igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cònica resultant, calcula la seva excentricitat i representa-la gràficament.

Un far d'automòbil té una secció transversal parabòlica. La bombeta es troba en el focus $F(3, 0)$ i el vèrtex de la paràbola és a l'origen de coordenades. Un raig de llum surt de la bombeta, incideix en la paràbola en un punt d'ordenada $y = 6$ i es reflecteix. Calcula l'equació de la recta tangent en el punt d'incidència i troba l'angle que forma el raig incident amb aquesta tangent.

Dues xarxes de telecomunicacions tenen àrees de cobertura modelades per les circumferències $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ i $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Troba l'equació de l'eix radical, demostra analíticament que les circumferències són secants i calcula la distància exacta entre els seus punts d'intersecció.

Donada la cònica d'equació general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Classifica-la completant quadrats i troba les coordenades del seu centre, els seus vèrtexs, els seus focus i el valor de la seva excentricitat.

Una partícula subatòmica es mou en un camp magnètic descrivint una trajectòria hiperbòlica equilàtera les asímptotes de la qual coincideixen amb els eixos de coordenades. Sabent que la partícula passa pel punt $P(4, 2)$, resol:

1. a) Troba l'equació de la trajectòria.

1. b) Determina les coordenades exactes dels vèrtexs i dels focus.

1. c) Representa gràficament la corba (a la figura tens els eixos i el punt $P$; pots copiar-la al teu quadern).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla la distància dels quals al punt fix $F(4, 0)$ és igual a la meitat de la seva distància a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cònica resultant, troba els seus semieixos i representa-la gràficament il·lustrant la propietat de la directriu.

Per trobar les rectes tangents a la circumferència $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ traçades des del punt exterior $P(5, 5)$, es proposen dos camins metodològics:

• Mètode A (Algebraic general): Plantejar el feix de rectes que passa per $P$, $y - 5 = m(x - 5)$, substituir a la cònica i imposar que el discriminant de l'equació de segon grau resultant sigui nul ($\Delta = 0$).

• Mètode B (Geomètric mètric): Obtenir el centre $C$ i el radi $R$ de la circumferència completant quadrats, i imposar que la distància del centre a la recta general $mx - y + (5 - 5m) = 0$ sigui igual al radi ($d(C, r) = R$).

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes de manera completa per obtenir els valors dels pendents $m$ i escriu les equacions generals de les dues tangents resultants.
2. b) Compara críticament tots dos mètodes: quin dels dos resulta notablement més àgil i amb menys càrrega de càlcul en aquest cas? Podries aplicar el Mètode B amb la mateixa senzillesa si la cònica fos una el·lipse de la forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$? Justifica la teva resposta a partir de les propietats geomètriques d'ambdues corbes.

El centre de Salvament Marítim de Finisterre (Galícia) monitora la trajectòria d'una boia a la deriva a l'oceà mitjançant dues estacions fixes situades a $A(-5, 0)$ i $B(5, 0)$ (coordenades en quilòmetres).

1. a) En una primera fase, la boia $P(x, y)$ emet impulsos acústics que arriben a $B$ abans que a $A$, i es manté constant la diferència de distàncies a ambdues estacions: $d(P, A) - d(P, B) = 6\text{ km}$. Identifica raonadament sobre quin tipus de cònica i sobre quina de les seves dues branques es mou la boia, dedueix els seus paràmetres ($a, b, c$) i escriu la seva equació reduïda.
2. b) En una segona fase, la boia entra a l'àrea litoral davant d'una línia recta de costa descrita per $r: x = -7$. Els sensors registren que en aquest tram la boia es mou mantenint en tot moment la mateixa distància a l'estació $A(-5, 0)$ que a la línia de costa $r$. Identifica aquesta segona cònica, determina les coordenades del seu vèrtex, el seu focus i el seu paràmetre $p$, i obtén la seva equació canònica o ordinària.
3. c) Determina analíticament les coordenades dels punts on van poder creuar-se ambdues trajectòries enregistrades (intersecció de les dues còniques a la regió $x > 0$) i discuteix la coherència geomètrica de les solucions obtingudes.

Repte del tema. Missió de rescat orbital: de l'el·lipse a la hipèrbola.

El teu objectiu és modelitzar la trajectòria d'un cos celeste i analitzar formalment les seves transicions còniques.

1. Recollida de dades: Entra a la base de dades JPL Small-Body Database de la NASA i selecciona un cometa o asteroide proper a la Terra. Anota el seu semieix major $a$ (en UA, ex. $1,45\text{ UA}$) i la seva excentricitat $e$.

2. Construcció a GeoGebra: Defineix l'el·lipse com a lloc geomètric a partir dels seus focus. Dedueix la seva equació reduïda $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, calculant $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Representa també la circumferència directora associada de radi $a$.

3. Límits i continuïtat: Modela l'excentricitat com a funció contínua $e(c)=\frac{c}{a}$ a $[0, a]$. Justifica la seva continuïtat i calcula $\lim_{c \to 0} e(c)$ per explicar geomètricament el cas límit de la circumferència. Planteja què passa si una pertorbació eleva $e > 1$, transformant l'òrbita en una hipèrbola d'escapament; determina analíticament les seves asímptotes $y = \pm \frac{b}{a}x$, redefinint per a la hipèrbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ el paràmetre $b=\sqrt{c^2-a^2}$ (ara $c>a$).

4. Producte final: Elabora un informe sintètic (màxim dues pàgines) amb l'arxiu o captures de GeoGebra, els desenvolupaments algebraics i les teves conclusions físiques.

Es valorarà:

• Precisió en la modelització de les còniques a partir de les dades astronòmiques reals.

• Rigor algebraic en la deducció de llocs geomètrics, continuïtat i càlcul de límits.

• Qualitat analítica i justificació geomètrica de les transicions orbitals a l'informe.