Ejercicios
Ya conoces las cuatro cónicas por separado. El reto ahora es distinguirlas rápido: dada una ecuación o un enunciado, decidir en segundos si es circunferencia, elipse, hipérbola o parábola, y resolver el problema completo.
¿Qué cónica es? Mira la ecuación general
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
¿Qué cónica es? Mira el enunciado
Cuando no hay ecuación, fíjate en qué condición describe el problema:
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Problemas de contexto con varios pasos
Los problemas de contexto real casi nunca dan directamente $a$, $b$ o $c$: hay que traducir primero el enunciado a esos datos.
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Cónicas y rectas: cortes y tangentes
Para hallar los puntos de corte entre una recta y una cónica, sustituyes la recta (despejada) en la ecuación de la cónica: queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante decide si hay $2$, $1$ o $0$ soluciones.
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.