Exercicis: Regla de Ruffini

Divideix el polinomi $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomi $x - 2$ utilitzant la regla de Ruffini i indica el quocient i el residu resultants.

Aplica la regla de Ruffini per fer la divisió de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escriu clarament el polinomi quocient i el valor del residu.

Comprova, utilitzant la regla de Ruffini, si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ per a $x = -1$ aplicant el teorema del residu mitjançant la regla de Ruffini.

Determina el valor de la constant $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sigui divisible exactament per $x - 1$.

Factoritza el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabent prèviament que $x = 1$ és una de les seves arrels.

Troba el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicant la regla de Ruffini.

Determina, sense fer la divisió completa i utilitzant el teorema del residu o la regla de Ruffini, si el binomi $x + 1$ és un factor del polinomi $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

En Mateo ha de dividir el polinomi $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 5$ entre el binomi $2x - 1$. Per a fer-ho, aplica la regla de Ruffini fent servir el valor $a = 1/2$. A l'última fila de la seva taula obté successivament els coeficients $4$, $-4$, $6$ i, com a últim nombre, $-2$. A partir d'això, en Mateo conclou en el seu examen: «El quocient de la divisió és $C(x) = 4x^2 - 4x + 6$ i el residu és $R = -2$». Identifica i explica raonadament l'error conceptual comès per en Mateo, demostra mitjançant la prova de la divisió que el seu quocient no pot ser correcte i escriu la solució completa i corregida (quocient real i residu).

Per calcular el valor numèric del polinomi $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x - 7$ a $x = 3$, es poden plantejar dos camins diferents: substituir directament $x = 3$ i calcular cada potència, o bé aplicar la regla de Ruffini dividint entre $x - 3$ per trobar el residu.

1. a) Compara els dos mètodes analitzant el tipus i nombre d'operacions que requereix cadascun (potències elevades enfront de sumes i productes successius) i justifica quin és més ràpid i menys propens a errors quan no es disposa de calculadora.
2. b) Aplica la regla de Ruffini (parant atenció als termes absents) per obtenir el residu, dedueix el valor de $P(3)$ i indica raonadament si $x - 3$ és un factor de $P(x)$.

El volum d'una caixa amb forma de prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si es sap que l'altura de la caixa és $x - 1$, determina el polinomi que representa l'àrea de la base $A(x)$.

Els beneficis d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen durant els seus primers anys d'activitat mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, on $x$ representa el temps en anys. Troba els anys exactes en què el benefici de l'empresa va ser nul (punts d'equilibri).

Divideix el polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomi $x - \frac{1}{2}$ emprant la regla de Ruffini. Expressa el resultat final indicant quocient i residu.

Determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sigui divisible exactament per $x - 2$ i, al mateix temps, doni un residu de $4$ en dividir-lo entre $x + 1$.

La posició d'una partícula en moviment rectilini ve donada per l'equació $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, on $t$ és el temps en segons. Determina en quins instants de temps la partícula passa per l'origen de coordenades ($s(t) = 0$).

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ per a $x = 2$ utilitzant exclusivament la disposició de la regla de Ruffini.

L'àrea d'un panell solar de forma rectangular es descriu mitjançant el polinomi $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se sap que la mesura de l'amplada del panell és $x + 3$, troba el polinomi que representa la seva longitud.

Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ trobant totes les seves arrels.

En un estudi d'eficiència en una línia de transport ferroviari de mercaderies entre Madrid i Sevilla, el consum acumulat de combustible auxiliar (en litres) d'una locomotora s'ajusta al polinomi $C(x) = 2x^3 - 8x^2 + kx - 10$, on $x$ és el temps transcorregut en hores ($x \in [3, 5]$). Els enginyers necessiten dividir aquest consum total entre un factor de càrrega lineal representat per $D(x) = 2x - 6$ per obtenir el consum per unitat de càrrega. Se sap empíricament que a les $3$ hores de trajecte el consum residual no absorbit pel model lineal (és a dir, el residu de la divisió) és exactament de $8$ litres.

1. a) Aplica la regla de Ruffini adaptada per a divisors de tipus $cx - a$ per plantejar una equació i determinar el valor del paràmetre $k$.
2. b) Amb el valor de $k$ obtingut, troba el polinomi que representa el quocient real de la divisió.
3. c) Interpreta si a les $3$ hores el factor de càrrega divideix de manera exacta el consum acumulat i quin significat pràctic té que el residu no sigui zero.

Donat el polinomi $P(x) = 2x^4 - 31x^2 - 15x + 8$ i el divisor $x - 4$:

1. a) Sense realitzar encara la taula de Ruffini, fes una estimació prèvia del signe i de l'ordre de magnitud del residu $P(4)$: compara mentalment el valor predominant del terme principal ($2 \cdot 4^4$) enfront del terme quadràtic ($-31 \cdot 4^2$). A partir d'aquesta estimació, consideres versemblant que $x - 4$ sigui un factor exacte o esperes un residu allunyat de zero?
2. b) Aplica la regla de Ruffini completa per obtenir el quocient i el residu exactes, justificant la presència de zeros a la taula si fos necessari.
3. c) Contrasta el residu obtingut amb la teva estimació inicial i comprova la validesa del resultat verificant la identitat fonamental $P(x) = (x - 4) \cdot C(x) + R$ per als casos particulars senzills $x = 0$ i $x = 1$.

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sigui divisible per $(x - 2)^2$.

Fes la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomi $2x - 3$ utilitzant la regla de Ruffini. Tingues en compte que has d'adaptar el divisor per poder aplicar l'algorisme i, posteriorment, ajustar el quocient i el residu obtinguts.

El volum d'un casquet esfèric ve donat per la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, on $R$ és el radi de l'esfera i $h$ l'altura del casquet. Si el radi d'una esfera és $R = 5\text{ cm}$ i es vol obtenir un casquet amb un volum de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, planteja l'equació corresponent i utilitza la regla de Ruffini per trobar l'altura $h$.

Factoritza completament el polinomi de cinquè grau $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomis irreductibles sobre els nombres reals.

Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patró observat en els coeficients del quocient, dedueix i escriu l'expressió general del polinomi quocient en dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.

La temperatura d'una reacció química en funció del temps $t$ (en minuts) es modelitza mitjançant el polinomi $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en quins instants de temps la temperatura de la reacció és exactament de $0^\circ\text{C}$.

Troba l'expressió d'un polinomi de tercer grau $P(x)$ el coeficient principal del qual sigui $1$, sabent que s'anul·la per a $x = 1$ i $x = 2$, i que en dividir-lo entre $x - 3$ s'obté un residu de $10$.

Resol la inequació polinòmica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Per fer-ho, factoritza primer el polinomi utilitzant la regla de Ruffini i després estudia el signe en els intervals corresponents de la recta real.

A la pissarra d'una aula de Batxillerat s'ha esborrat parcialment la resolució d'un problema en què s'aplicaven dues divisions successives sobre un polinomi de tercer grau $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Només s'han conservat les anotacions legibles següents:

1. El coeficient principal és $a = 2$.

2. En dividir $P(x)$ entre $x + 1$ mitjançant Ruffini, es va obtenir un residu $R_1 = -12$ i un polinomi quocient $Q(x)$.

3. En dividir aquest quocient $Q(x)$ entre el binomi $2x - 1$ aplicant l'adaptació de Ruffini, la divisió va resultar exacta (residu $R_2 = 0$) i el quocient final va ser $x + 4$.

1. a) Reconstrueix en sentit invers l'expressió algebraica del quocient intermedi $Q(x)$, detallant com intervé el divisor $2x - 1$.
2. b) Reconstrueix l'expressió algebraica completa del polinomi original $P(x)$.
3. c) Sense calcular $P(-1)$ ni $P(1/2)$ avaluant la fórmula obtinguda, justifica a partir de la definició de divisió i del teorema del residu si $x = -1$ o $x = 1/2$ són arrels de $P(x)$.

Es volen trobar els paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + mx^2 + nx + 6$ sigui divisible exactament pel trinomi $D(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

Doi estudiants plantegen estratègies diferents:

• Álvaro proposa efectuar directament la divisió euclidiana tradicional («en galera») de $P(x)$ entre $D(x)$ i igualar a zero els dos coeficients del residu lineal obtingut.

• Blanca proposa factoritzar $D(x) = (x - 2)(2x + 1)$ i encadenar dues taules de Ruffini successives: primer dividir entre $x - 2$ imposant residu zero, i després dividir el quocient resultant entre $2x + 1$ imposant de nou residu zero.

1. a) Compara raonadament ambdues estratègies avaluant la càrrega de càlcul i els riscos habituals d'error algebraic (maneig de fraccions vs. monomis semblants amb paràmetres).
2. b) Executa l'estratègia de la Blanca aplicant la regla de Ruffini de manera rigorosa per trobar els valors exactes de $m$ i $n$, indicant les dues taules i el quocient final simplificat de la divisió $P(x) : D(x)$.
3. c) Justificació teòrica: Si en un cas general es divideix successivament un polinomi $P(x)$ entre $(x - a)$ obtenint residu $R_1 \neq 0$, i el quocient resultant es divideix entre $(cx - b)$ obtenint residu $R_2 \neq 0$, dedueix algebraicament quina és l'expressió del residu global de la divisió de $P(x)$ entre $(x - a)(cx - b)$ i explica per què no és simplement la suma $R_1 + R_2$.