Regla de Ruffini

Mecánica de la regla de Ruffini

Se escriben los coeficientes de $P(x)$ en fila (con $0$ en los grados que falten) y el valor $a$ aparte. El primer coeficiente baja igual; cada siguiente resultado se obtiene multiplicando el último número de la fila de abajo por $a$ y sumando el coeficiente de su columna.

Ruffini también evalúa y confirma raíces

El último número de la fila de Ruffini es el resto, y el resto de dividir entre $(x-a)$ es, por el teorema del resto, $P(a)$. Así que Ruffini sirve para calcular el valor numérico de un polinomio sin sustituir término a término, y para comprobar si un número es raíz: si el resto sale $0$, lo es.

Factorizar con una raíz conocida

Cuando ya se conoce una raíz $a$, Ruffini da directamente el cociente: un factor de grado una unidad menos. Repitiendo el proceso con el cociente (si aparece otra raíz evidente) se llega a la factorización completa.

Parámetros desconocidos a partir de una condición de Ruffini

Cuando el polinomio tiene un coeficiente sin determinar, una condición de divisibilidad ("es divisible por $x-a$", "el resto al dividir por $x-a$ es $c$") se traduce en una ecuación con Ruffini: el último número de la fila debe valer lo que diga la condición.

Ruffini en problemas de modelización

Volúmenes, beneficios y trayectorias se expresan como polinomios en los que conviene encontrar factores: un volumen que es producto de dimensiones, o los instantes en los que un beneficio pasa por cero.

Cuando el divisor no es exactamente $x-a$

Ruffini está pensado para dividir entre $x-a$, con coeficiente $1$ en la $x$. Para dividir entre $x-\frac12$ no hay problema: $a=\frac12$. Pero para dividir entre un binomio como $2x-3$, hay que sacar primero el $2$ como factor: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$, aplicar Ruffini con $a=\frac32$, y después dividir el cociente obtenido entre $2$ para compensar.

Diseñar, comprobar y comparar un algoritmo

Ruffini también permite evaluar un polinomio. Para $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, el esquema de Horner encadena multiplicaciones y sumas. Diseña primero cómo lo harías con lápiz; después compara tu procedimiento con este pseudocódigo:

entrada: coeficientes [a_n, ..., a_0] y valor t

v ← a_n

para cada coeficiente c restante, de mayor a menor grado:

    v ← v * t + c

devolver v

Cada flecha representa la siguiente multiplicación y suma:

Para un polinomio de grado n, Horner realiza n multiplicaciones y n sumas. Si tu algoritmo directo calcula cada potencia desde cero por productos repetidos y multiplica luego por su coeficiente, usa $n(n+1)/2$ multiplicaciones y n sumas. Si reutiliza potencias, cambia el recuento: declara siempre qué algoritmo comparas. En el cúbico anterior, los recuentos genéricos son 3 frente a 6 multiplicaciones, sin simplificar términos nulos.

Modifica el algoritmo para evaluar el mismo polinomio en una lista de valores, reiniciando v para cada valor. Escribe la modificación, ejecútala a mano o en un programa y conserva una tabla de entrada, salida esperada y salida obtenida. Comprueba además $t=1$: el resultado debe ser la suma de coeficientes. Explica por qué, tras procesar todos, v representa exactamente el polinomio anidado $((2t-3)t+0)t+5$.

Resumen