Exercicis: Teorema del residu

Calcula, sense efectuar la divisió, el residu de dividir el polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.

Determina si el polinomi $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ és divisible per $x + 4$ aplicant el teorema del residu.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sigui $4$.

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ per a $x = -1$ i indica quin significat té aquest valor respecte a la divisió polinòmica de $P(x)$ entre $x + 1$.

Troba el valor de $m$ sabent que la divisió del polinomi $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ és exacta.

Determina el residu de la divisió de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ avaluant el polinomi.

Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

Sabent que el residu de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ és $-7$, calcula el valor del coeficient $a$.

En Lucas intenta esbrinar si el binomi $x + 2$ és un factor del polinomi $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + k$. Per resoldre-ho, escriu al seu quadern: «Pel teorema del residu, calculo $P(2) = 2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 + k = 16 + 20 - 2 + k = 34 + k$. Perquè sigui factor, el residu ha de ser zero, així que $34 + k = 0 \implies k = -34$». Identifica i explica amb rigor l'error conceptual comès per en Lucas, aclareix quin valor numèric havia de calcular en realitat segons el teorema del residu i troba el valor correcte del paràmetre $k$ perquè la divisió sigui exacta.

Donat el polinomi $P(x) = 3x^4 - 20x^3 + 5x - 12$:

1. a) Abans de fer cap càlcul detallat en paper, estima mentalment el signe del residu en dividir $P(x)$ entre $x - 4$. Per a fer-ho, analitza els dos termes de major grau en substituir $x = 4$ i raona si predominarà la contribució positiva o la negativa.
2. b) Aplica el teorema del residu per calcular el valor exacte d'aquest residu. Comprova si la teva estimació qualitativa era correcta i justifica per què el terme líder ($3x^4$) no va aconseguir que el valor final fos positiu.

La posició d'un mòbil en línia recta en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metres). Utilitza el teorema del residu per calcular la posició del mòbil en l'instant $t = 3$ i explica la relació conceptual entre el valor trobat i la divisió polinòmica de $x(t)$ entre $t - 3$.

Troba els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sigui divisible per $x - 2$ i deixi un residu de $-24$ en dividir-lo per $x + 2$.

El cost de producció de $q$ milers d'unitats d'un component electrònic segueix la llei $C(q) = 0,5q^4 - 3q^3 + 5q^2 + 12$ (en milers d'euros). Aplica el teorema del residu per determinar el cost exacte de fabricar $4000$ unitats ($q=4$).

Determina el valor de $k$ perquè el residu de dividir el polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sigui idèntic al residu de dividir el polinomi $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.

El creixement d'una colònia de bacteris en un medi controlat es modelitza amb el polinomi $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, on $t$ és el temps en dies i $P(t)$ representa la desviació respecte a la població inicial. Demostra, utilitzant el teorema del factor, que els dies $t=1$, $t=2$ i $t=3$ la població torna exactament al seu nivell inicial.

Calcula el valor de $a$ i $b$ sabent que el polinomi $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ és divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 1)$.

La deflexió d'una biga en un punt $x$ (en metres) ve donada pel polinomi $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabent que la deflexió a $x = 2$ és de $20$ mm, troba el valor de la constant $k$ recolzant-te en el teorema del residu i determina quina serà la deflexió en la coordenada $x = -1$.

Un polinomi $P(x)$ de tercer grau té com a coeficient principal $2$. Sabent que és divisible per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$, i que en dividir-lo per $(x - 2)$ dona un residu de $16$, determina l'expressió completa del polinomi $P(x)$ en la seva forma desenvolupada.

Per determinar si el polinomi $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x - 4$ és來源 divisible pel binomi $x - 1$, tres estudiants d'1r de Batxillerat proposen estratègies diferents:

• La Lucía proposa efectuar la divisió llarga euclidiana de polinomis per observar si el residu final és el polinomi nul.

• En Mateo proposa aplicar la regla de Ruffini completant la taula de coeficients i comprovar si l'última casella és zero.

• La Clara proposa aplicar el teorema del factor avaluant directament $P(1)$ mitjançant càlcul aritmètic.

1. a) Compara raonadament els tres mètodes atenent al nombre d'operacions, la probabilitat de cometre errors de signe i el temps de resolució.
2. b) Tria el mètode més eficient segons la teva anàlisi i aplica'l per dictaminar de manera justificada si $x - 1$ és un factor de $P(x)$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra l'evolució de la temperatura $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) en una estació de la Cordillera Cantàbrica durant una jornada d'hivern mitjançant la funció polinòmica $T(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 - 1,1t - 2$, on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de les 08:00 ($t = 0$), amb $t \in [0, 12]$.

1. a) Interpreta el significat físic que té el residu de la divisió de $T(t)$ entre el binomi $t - 6$ i calcula'l aplicant el teorema del residu per conèixer la temperatura exacta a les 14:00.
2. b) L'equip de vialitat hivernal necessita saber a quina hora la temperatura va creuar per primera vegada exactament el punt de congelació ($0\ ^{\circ}\text{C}$). Utilitza el teorema del factor per comprovar si $t - 4$ és un divisor exacte de $T(t)$ i interpreta el resultat obtingut en el context del desglaç a la carretera.

Determina els coeficients $a, b, c, d$ del polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabent que és divisible pel binomi $x^2 - 4$, que en dividir-lo per $x - 1$ deixa un residu de $15$, i que el seu terme independent és $-12$.

En un sistema de seguretat criptogràfic, una clau es genera avaluant un polinomi de grau molt alt. La clau correspon exactament al residu de dividir el polinomi $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomi $x - 3$. Calcula el valor numèric d'aquesta clau de seguretat justificant la teva resposta.

Demostra, aplicant el teorema del residu, que el polinomi $P(x) = x^n - a^n$ és sempre divisible per $x - a$ per a quablessevol nombre natural $n$. Utilitza aquest resultat per deduir raonadament el residu de la divisió de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.

La capacitat calorífica d'un material experimental s'aproxima mitjançant el polinomi de tercer grau $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabem que $C(T)$ és divisible per $T$, que a $T=1$ el seu valor és $4$, a $T=-1$ el seu valor és $0$ i a $T=2$ el seu valor és $18$. Formula el sistema d'equacions corresponent utilitzant el teorema del residu i troba l'expressió analítica del polinomi $C(T)$.

Troba el residu de dividir el polinomi $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomi de segon grau $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Recorda que el residu de dividir per un polinomi de grau 2 és, com a molt, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del residu avaluant estratègicament en les arrels del divisor.

El perfil d'un canal de drenatge en un projecte arquitectònic segueix l'equació $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, on $y = 0$ representa el nivell del terra. Es sap que el perfil talla el nivell del terra en els punts $x = 5$ i $x = -2$. Troba els valors exactes de $k$ i $c$ emprant el teorema del factor i determina la cota del perfil (altura respecte al terra, negativa si queda per sota) en el punt $x = 1$.

Sigui el polinomi $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabent que és divisible per $x - 2$ i que la suma dels residus de dividir-lo per $x - 1$ i per $x + 1$ és igual a $-10$, planteja el sistema d'equacions pertinent i determina els coeficients $a$ i $b$.

Troba l'expressió desenvolupada d'un polinomi $P(x)$ de tercer grau tal que, en dividir-lo per $x+1$, $x-2$ i $x+3$, deixi en tots els casos el mateix residu igual a $5$, i que en dividir-lo per $x-1$ deixi un residu de $-7$.

Nota: Pensa en la relació entre el polinomi auxiliar $P(x) - 5$ i el teorema del factor.

Un polinomi $P(x)$ amb coeficients reals, del qual no coneixem la seva expressió completa ni el seu grau, compleix simultàniament dues condicions: en dividir-lo entre $x - 2$ dona un residu igual a $7$, i en dividir-lo entre $x + 3$ dona un residu igual a $-8$.

1. a) Sense conèixer el quocient de la divisió, dedueix raonadament l'expressió algebraica del residu $R(x)$ que s'obté en dividir $P(x)$ entre el polinomi de segon grau $D(x) = x^2 + x - 6$, justificant el grau màxim que pot tenir aquest residu.
2. b) Dissenya i escriu l'expressió d'un polinomi mònic concret de grau $3$ que compleixi simultàniament ambdues propietats i comprova algebraicament que en dividir-lo entre $x^2 + x - 6$ reprodueix el residu $R(x)$ deduït en l'apartat anterior.

Considera la família de polinomis de grau elevat $P(x) = x^{2026} + ax^{2025} + b$, on $a$ i $b$ són constants reals desconegudes.

1. a) Utilitza el teorema del residu i del factor per plantejar i resoldre un sistema lineal que determini els valors exactes d'$a$ i $b$ sabent que $P(x)$ és divisible entre $x + 1$, i que en dividir-lo entre $x - 1$ s'obté un residu de $4$.
2. b) Amb els valors obtinguts en l'apartat anterior, justifica formalment si el polinomi resultant és o no divisible entre el binomi quadràtic $x^2 - 1$.
3. c) Raona analíticament, sense recórrer a derivades ni a representacions gràfiques, per què aquest polinomi específic no pot tenir cap arrel real estrictament positiva, analitzant l'estructura i el signe dels seus termes per a qualsevol $x > 0$.