Teorema del resto
Para saber el resto de dividir $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$, nadie hace esa división entera: con una sola sustitución, $P(3)$, el problema se resuelve en segundos. El teorema del resto es esa sustitución, y en Bachillerato se usa con más soltura: varias condiciones a la vez, exponentes enormes, o divisores de grado $2$.
El teorema del resto
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del resto para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinómica de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: cuando el resto es cero
Si el resto $P(a)$ sale $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es una raíz. Es la misma idea que el teorema del resto, aplicada al caso particular en que el resto se anula.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Hallar un parámetro con una condición de resto
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido y se conoce (o se exige) un resto concreto, se sustituye igual, y la condición se convierte en una ecuación con esa incógnita.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Varias condiciones a la vez: sistemas de ecuaciones
Cuando hay dos parámetros desconocidos, se necesitan dos condiciones (dos restos, o un resto y una divisibilidad), y cada una da una ecuación. Juntas forman un sistema que se resuelve como cualquier otro.
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por…
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
Evaluar lo "inevaluable": exponentes enormes
El teorema del resto no distingue entre un polinomio de grado $3$ y uno de grado $2024$: sustituir $P(a)$ cuesta igual de poco, aunque haya que manejar potencias de $a$ con cuidado (a veces conviene factorizar antes de sustituir, para no hacer cuentas descomunales).
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio…
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado…
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
El resto al dividir por un polinomio de grado 2
El teorema del resto, en su versión básica, solo da el resto al dividir por $x-a$ (grado $1$), que es un número. Si el divisor es de grado $2$, el resto puede ser un polinomio de grado $1$, de la forma $mx+n$. Si se conocen las dos raíces del divisor, evaluar $P(x)$ en cada una da dos ecuaciones para hallar $m$ y $n$.
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recuerda que el…
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a…
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.
Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.