Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es, para una ecuación de grado alto, el equivalente a desarmar un mueble por sus piezas: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ dice de un vistazo que $P(x)=0$ exactamente cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Este apartado reúne todas las técnicas —factor común, identidades, Ruffini, raíces racionales— en un único procedimiento sistemático, y añade los casos que 4º de ESO no cubría: multiplicidades, raíces fraccionarias y factores de grado $2$ sin raíces reales.
Factor común e identidades notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible y, si lo que queda es una identidad notable o una ecuación de segundo grado, resolverla.
Extrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar "completamente" significa repetir factor común, identidades y Ruffini hasta que todos los factores sean de grado $1$ (o de grado $2$ sin raíces reales). Si una raíz se repite, es una raíz múltiple, y su multiplicidad es el número de veces que se repite.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Polinomios bicuadrados y diferencias sucesivas
Un polinomio bicuadrado solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$ ($ax^4+bx^2+c$): se factoriza como si fuera de segundo grado, cambiando $x^2$ por una variable auxiliar. Y una diferencia de cuadrados, si vuelve a serlo después del primer paso, se puede aplicar dos veces.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando identidades notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando identidades notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Raíces racionales: cuando el coeficiente principal no es 1
Si el coeficiente principal de $P(x)$ no es $1$, además de los divisores del término independiente hay que probar fracciones: candidatos $\frac{p}{q}$, con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de euros. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
Factores irreducibles de segundo grado
No todo polinomio se descompone en factores de grado $1$: cuando queda un factor de grado $2$ con discriminante negativo, es irreducible en los números reales y ahí se detiene la factorización. A veces, sumar y restar un término auxiliar permite ver dos factores de grado $2$ donde a simple vista no se ve ninguno.
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factorización con parámetros y aplicaciones
Cuando un polinomio tiene un parámetro y una condición de divisibilidad, primero se halla el parámetro (como en el apartado de Ruffini) y después se factoriza ya con todos los coeficientes conocidos.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.