Exercicis: Factorització de polinomis

Treu factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar al màxim el polinomi següent:

$P(x) = 3x^5 - 12x^3$

Factoritza el polinomi de tercer grau següent sabent que una de les seves arrels és $x = 2$:

$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$

Troba les arrels enteres del polinomi $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mitjançant la regla de Ruffini i expressa'l en la seva forma factoritzada.

Escriu en forma factoritzada el polinomi $P(x) = x^4 - 81$ aplicant la identitat de la diferència de quadrats de manera successiva.

Indica quines són les arrels del polinomi $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ i les seves multiplicitats respectives. Justifica per què aquest polinomi no té més arrels reals.

Factoritza el polinomi $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolent prèviament l'equació de segon grau associada.

Comprova, utilitzant el teorema del residu, si $x = -1$ és arrel del polinomi $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En cas afirmatiu, treu el factor corresponent.

Factoritza completament el polinomi biquadrat $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

Carlos ha de descompondre en factors el polinomi $P(x) = 3x^3 - 12x^2 + 12x$. Al seu examen escriu el procediment següent:

1) Extreu factor comú: $P(x) = x(3x^2 - 12x + 12)$.

2) Resol l'equació $3x^2 - 12x + 12 = 0$ aplicant la fórmula general i obté una única solució doble: $x = 2$.

3) Conclou que la factorització final és: $P(x) = x(x - 2)^2$.

1. a) Sense necessitat de desenvolupar tot el polinomi, assenyala quina propietat immediata falla en el resultat de Carlos (pista: compara el coeficient principal de la seva resposta amb el del polinomi original).
2. b) Explica raonadament l'error conceptual que ha comès en traduir les solucions de l'equació de segon grau a factors del polinomi.
3. c) Corregeix el procediment i escriu la factorització completa i correcta de $P(x)$.

Per descompondre en factors irreductibles a $\mathbb{R}$ el polinomi $P(x) = 2x^4 - 32$, dues alumnes suggereixen estratègies diferents:

• L'Alba proposa aplicar la regla de Ruffini de manera successiva provant amb els divisors enters de $32$ fins a reduir el grau.

• La Bea proposa extreure factor comú numèric en primer lloc i, a continuació, aplicar identitats notables (diferències de quadrats) de forma encadenada.

1. a) Compara els dos mètodes i justifica quin dels dos és més eficient, ràpid i menys propens a badades de càlcul en aquest cas.
2. b) Aplica l'estratègia triada pas a pas fins a obtenir la factorització completa de $P(x)$ a $\mathbb{R}$.
3. c) Justifica raonadament per què el factor quadràtic $(x^2 + 4)$ no es pot continuar descomponent en els nombres reals.

Determina el valor del paràmetre $m$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sigui divisible pel binomi $x - 2$. Un cop trobat el valor de $m$, factoritza completament el polinomi en el conjunt dels nombres reals.

El volum d'una caixa rectangular en funció de la seva longitud $x$ ve donat per l'expressió polinòmica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoritza $V(x)$ per trobar les expressions algebraiques més simples que representen les tres dimensions de la caixa.

Factoritza el polinomi $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tingues en compte que algunes de les seves arrels poden ser nombres fraccionaris.

Un biòleg modelitza el creixement i decreixement d'una població de bacteris mitjançant el polinomi $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, on $t$ és el temps en hores. Factoritza el polinomi per determinar en quins instants exactes la població s'anul·la.

Simplifica la fracció algebraica següent factoritzant prèviament el numerador i el denominador al màxim:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$

Factoritza el polinomi $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilitzant identitats notables i treient factors comuns, sense necessitat de desenvolupar tot el polinomi primer.

La trajectòria d'un dron de curses en un tram d'exhibició segueix el perfil polinòmic $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, on $x$ és la distància horitzontal en metres i $h(x)$ l'altura en metres. Factoritza $h(x)$ per trobar els punts exactes on el dron toca el terra ($h(x) = 0$).

Determina un polinomi de quart grau, $P(x)$, que sigui mònic (coeficient principal 1), que tingui $x = -2$ com a arrel doble, $x = 3$ com a arrel simple, i que manqui de terme independent. Escriu-lo en la seva forma factoritzada i en la seva forma general desenvolupada.

Considera el polinomi amb coeficients enters $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$.

1. a) Abans d'aplicar qualsevol algorisme de divisió, fes una estimació raonada prèvia:

• Enumera tots els possibles candidats a arrel racional $\frac{p}{q}$ segons el teorema de l'arrel racional.

• Calcula mentalment o amb tempteig ràpid el valor numèric en els valors enters més simples ($x = 1$, $x = -1$, $x = 0$) i estima quantes arrels racionals no enteres esperes trobar com a màxim.

1. b) Factoritza completament $P(x)$ a $\mathbb{R}$ utilitzant la regla de Ruffini i l'equació de segon grau associada.
2. c) Comprova si les arrels obtingudes coincideixen amb la teva llista de candidats racionals i verifica si el producte de les tres arrels obtingudes $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$ és coherent amb el valor del quocient $-\frac{a_0}{a_n} = -1,5$.

Troba un polinomi $P(x)$ de tercer grau amb coeficients enters que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1) Té una arrel doble a $x = -2$.

2) El seu terme independent és $-12$ (és a dir, la gràfica de la funció polinòmica associada talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, -12)$).

3) En dividir $P(x)$ entre el binomi $(x - 1)$, el residu obtingut és $-9$.

1. a) Planteja l'estructura del polinomi en funció de les seves arrels i troba raonadament els seus coeficients.
2. b) Escriu l'expressió factoritzada de $P(x)$ indicant cadascuna de les seves arrels i les seves respectives multiplicitats.
3. c) Desenvolupa el polinomi obtingut per comprovar que tots els seus coeficients són nombres enters i que satisfà la condició del residu en dividir-lo entre $(x - 1)$ mitjançant el teorema del residu.

Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sigui divisible pel polinomi $Q(x) = x^2 - 4$. A continuació, factoritza $P(x)$ al màxim.

El disseny del perfil d'una peça mecànica de precisió es defineix mitjançant la funció polinòmica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoritza el polinomi per trobar les coordenades exactes dels punts d'ancoratge de la peça en l'eix horitzontal.

Demostra que el polinomi $P(x) = x^4 + 4$ no té arrels reals. A continuació, factoritza'l com el producte de dos polinomis de segon grau. Pista: Suma i resta $4x^2$ a l'expressió per forçar l'aparició d'una diferència de quadrats.

Simplifica la següent expressió algebraica, que representa la impedància equivalent en un circuit complex, factoritzant al màxim cada polinomi en els numeradors i denominadors:

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$

En un estudi d'economia, la corba de benefici marginal d'una empresa tecnològica s'ajusta al polinomi $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, on $x$ representa la inversió en R+D en milions d'euros. Factoritza el polinomi per trobar els punts d'equilibri exactes (incloent-hi arrels fraccionàries).

Un polinomi $P(x)$ de tercer grau compleix que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ i en dividir-lo pel binomi $(x-2)$ el residu de la divisió és $16$. A més, es sap que el seu terme independent és $4$. Troba l'expressió factoritzada de $P(x)$.

Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica clarament quines són les seves arrels reals i la multiplicitat de cadascuna d'elles.

El contorn de la volta d'un edifici avantguardista ve donat per la intersecció geomètrica de les corbes $f(x) = x^4 - 2x^3$ i $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoritza el polinomi diferència $D(x) = f(x) - g(x)$ per determinar les coordenades $x$ dels pilars on totes dues estructures s'uneixen.

Una cooperativa agrària de Jaén encarrega la fabricació d'un dipòsit d'acer amb forma d'ortoedre per emmagatzemar oli d'oliva verge extra. Per condicionants d'espai a la trull, les cotes del dipòsit (en metres) han de guardar les relacions següents:

• L'amplada fa $x$ metres.

• La llargada ha de superar l'amplada en $2\text{ m}$.

• L'alçària ha de ser igual a la suma de la llargada i l'amplada, disminuïda en $1\text{ m}$.

• La capacitat total requerida és d'exactament $40\text{ m}^3$ ($40.000\text{ litres}$).

1. a) Dedueix l'expressió polinòmica del volum $V(x)$ i planteja l'equació $V(x) - 40 = 0$ que permet determinar l'amplada $x$.
2. b) Abans de factoritzar, delimita el domini físic del problema: per què descartem d'entrada qualsevol arrel menor o igual a zero?
3. c) Factoritza completament el polinomi $V(x) - 40$ a $\mathbb{R}$ argumentant quins candidats racionals proves mitjançant la regla de Ruffini.
4. d) Determina les dimensions reals del dipòsit (amplada, llargada i alçària) i interpreta el paper del factor quadràtic restant: per què el seu discriminant garanteix que la solució trobada és geomètricament i físicament única?

Es vol descompondre en factors irreductibles a $\mathbb{R}$ el polinomi de grau sis $P(x) = x^6 - 9x^3 + 8$.

A l'aula es plantegen dos camins de resolució:

• Mètode A (Marcos): Tractar-lo com un polinomi general de grau 6 i aplicar de forma successiva la regla de Ruffini buscant arrels enteres entre els divisors de $8$.

• Mètode B (Sara): Tractar-lo com un polinomi reductible a segon grau mitjançant el canvi de variable $t = x^3$, descompondre l'equació quadràtica en $t$ i finalment factoritzar cada factor cúbic resultant usant identitats notables (en concret, la diferència de cubs: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$).

1. a) Analitza la proposta de Marcos: demostra en quin punt exacte quedaria bloquejat aquest mètode si Marcos només busca arrels enteres mitjançant Ruffini i per què aquest algorisme és incapaç per si sol de descompondre factors quadràtics irreductibles sobre $\mathbb{R}$.
2. b) Desenvolupa de forma completa el Mètode B de Sara fins a obtenir la factorització de $P(x)$ com a producte de factors de grau 1 i grau 2.
3. c) Demostra formalment, analitzant el discriminant de cada factor de segon grau obtingut, que aquests factors són irreductibles a $\mathbb{R}$ i que, per tant, la factorització no pot avançar més.