Movimientos en el plano

Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en kilómetros respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector de traslación $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina las coordenadas de la nueva posición del dron.

Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcula el vector de traslación que describe exactamente este movimiento.

La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades hacia la izquierda y $2$ unidades hacia arriba. Escribe la ecuación general de la nueva recta que define la trayectoria trasladada.

En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste central ubicado en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. Halla las coordenadas donde debe instalarse la fuente.

Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la estación espacial se encuentra en $(2, 1)$, calcula las coordenadas de la posición del satélite $S_2$.

Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie del agua, que coincide con el eje de abscisas ($y=0$), necesita ubicar el reflejo virtual de este punto bajo el agua. Determina las coordenadas de este punto simétrico.

En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta $y=x$). Determina analíticamente las coordenadas del vértice simétrico $V'$.

Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcula las coordenadas del punto virtual $P'$ (simétrico de $P$ respecto al espejo) del cual parece provenir la luz reflejada.

Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere construir una estación de bombeo $P$ sobre la tubería principal de manera que la longitud total de los tubos secundarios ($AP + PB$) sea mínima. Utilizando el concepto de simetría axial, calcula las coordenadas exactas del punto $P$ y la longitud mínima total de la tubería.

Una antena de telefonía móvil proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencias con un edificio cercano, la compañía decide trasladar la antena (el centro de la circunferencia) según el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determina la ecuación general de la nueva zona de cobertura.

Una parcela agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. El ayuntamiento expropia la parcela y, a cambio, le entrega al propietario otra parcela obtenida al aplicarle al triángulo original una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 6$. Calcula los vértices de la nueva parcela y demuestra analíticamente que el área de la parcela no ha variado.

En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de una simetría central respecto al punto $C(2, 0)$. Halla la posición final del personaje y comprueba analíticamente si el resultado sería el mismo aplicando primero la simetría y luego la traslación.

Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.

1. a) Demuestra que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que entre $A'$ y $B'$.
2. b) Determina si el movimiento descrito corresponde a una traslación pura o a una simetría central, justificando analíticamente la respuesta y hallando el vector de traslación o el centro de simetría correspondiente.