Exercicis: Moviments en el pla

Un dron de repartiment es troba en la posició $P(3, -2)$, expressada en quilòmetres respecte a la seva base. El controlador li envia una instrucció per fer un desplaçament rectilini definit pel vector de traslació $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina les coordenades de la nova posició del dron.

Una màquina de tall per làser es desplaça en línia recta sobre una planxa de metall des del punt inicial $A(-1, 5)$ fins al punt final $B(4, 2)$. Calcula el vector de traslació que descriu exactament aquest moviment.

En el disseny d'un jardí simètric, es vol col·locar una font al punt $F'$ que sigui el simètric d'una estàtua situada a $E(4, 7)$ respecte a un pal central ubicat a l'origen de coordenades $O(0, 0)$. Troba les coordenades on s'ha d'instal·lar la font.

Un vaixell de pesca fa dos moviments consecutius en alta mar. Primer es trasllaus segons el vector $\vec{u} = (2, 6)$ i després segons el vector $\vec{v} = (3, -1)$. Si va sortir d'un port situat en les coordenades $P(-4, -5)$, determina la seva posició final després de tots dos desplaçaments.

Dos satèl·lits de comunicacions, $S_1$ i $S_2$, orbiten de manera simètrica respecte a una estació espacial central. Si $S_1$ està en la posició $(8, -3)$ i l'estació espacial es troba a $(2, 1)$, calcula les coordenades de la posició del satèl·lit $S_2$.

Un arquitecte dissenya un pont l'arc del qual té un punt d'ancoratge crític a $A(-3, 5)$. Per mantenir la simetria visual en un renderitzat 3D respecte a la superfície de l'aigua, que coincideix amb l'eix d'abscisses ($y=0$), necessita ubicar el reflex virtual d'aquest punt sota l'aigua. Determina les coordenades d'aquest punt simètric.

Una grua desplaça horitzontalment i verticalment una biga rectilínia els extrems inicials de la qual són $A(1, 1)$ i $B(5, 3)$. El moviment es fa mitjançant una traslació definida pel vector $\vec{t} = (0, -4)$. Calcula les coordenades dels nous extrems $A'$ i $B'$ de la biga.

La trajectòria d'una cinta transportadora segueix la recta d'equació $y = 2x - 1$. Per necessitats d'espai a la fàbrica, es trasllada tota la cinta $3$ unitats cap a l'esquerra i $2$ unitats cap amunt. Escriu l'equació general de la nova recta que defineix la trajectòria traslladada.

En Lucas està programant un videojoc i necessita calcular la posició del reflex d'un personatge situat en el punt $A(4, -1)$ mitjançant una simetria central respecte al punt de control $M(1, 2)$. En la seva llibreta planteja el següent:

«Com que $M$ és el punt mitjà entre $A$ i el seu simètric $A'$, calculo les coordenades d'$A'$ fent la mitjana d'$A$ i $M$:

$$A' = \frac{A + M}{2} = \left(\frac{4+1}{2},\ \frac{-1+2}{2}\right) = (2,5;\ 0,5)$$»

Identifica l'error conceptual que comet en Lucas, explica per què el seu resultat contradiu la definició geomètrica de simetria central i determina les coordenades correctes del punt simètric $A'$.

Un punt de control topogràfic es troba a $P(-3, 5)$ i se li aplica una simetria axial respecte a la recta horitzontal $r \equiv y = 1$.

1) Abans de fer cap càlcul analític, estima raonadament en quin quadrant del pla quedarà situat el punt transformat $P'$. Argumenta quina coordenada romandrà invariable i quina canviarà, estimant mentalment el seu nou valor a partir de la distància de $P$ a l'eix.

2) Calcula analíticament les coordenades de $P'$ mitjançant la condició de punt mitjà i perpendicularitat, i comprova si el resultat coincideix amb la teva estimació inicial.

En un programa de disseny gràfic, s'ha traçat un polígon amb un vèrtex clau al punt $V(5, -2)$. S'aplica una simetria axial respecte a la bisectriu del primer i tercer quadrants (recta $y=x$). Determina analíticament les coordenades del vèrtex simètric $V'$.

Una antena de telefonia mòbil proporciona cobertura en una zona circular l'equació cartesiana de la qual és $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Per problemes d'interferències amb un edifici proper, la companyia decideix traslladar l'antena (el centre de la circumferència) segons el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determina l'equació general de la nova zona de cobertura.

Un raig làser s'emet des d'un projector situat al punt $P(-2, 4)$. Al seu davant hi ha un mirall pla col·locat exactament sobre la recta d'equació $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcula les coordenades del punt virtual $P'$ (simètric de $P$ respecte al mirall) del qual sembla provenir la llum reflectida.

En l'animació d'un videojoc, el centre geomètric d'un personatge situat a $A(1, 3)$ pateix una traslació de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida immediatament d'una simetria central respecte al punt $C(2, 0)$. Troba la posició final del personatge i comprova analíticament si el resultat seria el mateix aplicant primer la simetria i després la traslació.

Una via de tren discorre seguint la trajectòria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista vol traçar una nova avinguda $s$ que sigui perfectament simètrica a la via del tren respecte a un monument central situat a $C(1, -1)$. Troba l'equació general de l'avinguda $s$.

El reflector d'un far d'automòbil segueix el perfil de la paràbola $y = x^2 - 6x + 11$. Per facilitar la programació de la màquina de mecanitzat CNC, l'enginyer necessita aplicar una traslació a la paràbola de manera que el seu vèrtex coincideixi exactament amb l'origen de coordenades. Determina el vector de traslació necessari i la nova equació de la paràbola.

Dues torres de vigilància forestal estan ubicades als punts $T_1(-3, 1)$ i $T_2(5, 5)$. Es vol traçar un tallafocs rectilini que actuï com a eix de simetria entre totes dues torres, de manera que qualsevol punt del tallafocs equidisti de $T_1$ i $T_2$. Calcula l'equació general de la recta que defineix aquest tallafocs.

Una parcel·la agrícola té forma de triangle amb vèrtexs a $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 5)$. L'ajuntament expropia la parcel·la i, a canvi, lliura al propietari una altra parcel·la obtinguda en aplicar al triangle original una simetria axial respecte a la recta vertical $x = 6$. Calcula els vèrtexs de la nova parcel·la i demostra analíticament que l'àrea de la parcel·la no ha variat.

Dos carrils rectilinis i paral·lels en un tram ferroviari vénen descrits per les rectes $r \equiv 2x - y + 3 = 0$ i $s \equiv 2x - y - 7 = 0$.

1) Determina l'equació general de la recta que actua com a eix de simetria axial que transforma el carril $r$ en el carril $s$.

2) Si en lloc d'una simetria es vol passar de la recta $r$ a la recta $s$ mitjançant una translació de vector $\vec{v}$, hi ha infinits vectors possibles. Determina les components i el mòdul del vector de translació $\vec{v}$ que tingui la mínima longitud geomètrica possible.

En una nau logística automatitzada a Saragossa, les mercaderies es desplacen en un pla coordenat en metres. Un paquet situat en la posició $A(1, 2)$ se sotmet a una translació definida pel vector $\vec{v} = (6, -2)$, i assoleix la posició intermèdia $A'$. A continuació, el sistema de guiatge li aplica una simetria central respecte a un pal de control ubicat a $M(5, 3)$, situant-lo en la seva destinació final $A''$.

1) Calcula les coordenades de les posicions $A'$ i $A''$.

2) Si l'operadora de la nau hagués invertit l'ordre de les instruccions (aplicant primer a $A$ la simetria central respecte a $M$ i després la translació de vector $\vec{v}$), hauria acabat el paquet en la mateixa posició $A''$? Justifica la teva resposta calculant les noves coordenades i enunciant la propietat teòrica que regula la commutativitat en la composició de moviments.

Un raig de llum viatja al llarg de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ i xoca contra un mirall pla situat sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina l'equació general de la recta $r'$ que conté el raig reflectit, sabent que aquesta recta és la simètrica de $r$ respecte a $s$.

Dos pobles, $A(1, 5)$ i $B(7, 2)$, necessiten connectar-se a una canonada principal d'aigua que discorre en línia recta al llarg de l'eix d'abscisses ($y=0$). Es vol construir una estació de bombeig $P$ sobre la canonada principal de manera que la longitud total dels tubs secundaris ($AP + PB$) sigui mínima. Utilitzant el concepte de simetria axial, calcula les coordenades exactes del punt $P$ i la longitud mínima total de la canonada.

Demostra analíticament que la composició de dues simetries axials respecte a rectes paral·leles és equivalent a una traslació. Per fer-ho, considera les rectes $r \equiv x - 2y = 0$ i $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Pren un punt genèric $P(x_0, y_0)$, troba el seu simètric $P'$ respecte a $r$, i després el simètric $P''$ de $P'$ respecte a $s$. Determina el vector de traslació $\vec{v} = \vec{PP''}$ i comprova que és perpendicular a les rectes i que el seu mòdul és el doble de la distància entre aquestes.

L'òrbita d'un cometa es projecta en un pla astronòmic segons l'equació de l'el·lipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mitjançant una traslació d'eixos, és possible expressar aquesta equació en la seva forma reduïda centrada en l'origen. Calcula el vector de traslació que mou l'origen geomètric de la cònica a l'origen de coordenades i escriu l'equació de l'el·lipse després d'aquesta traslació.

El contorn d'un engranatge circular té l'equació $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Aquest engranatge es reflecteix en un mirall inclinat representat per la recta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determina l'equació general de la circumferència que representa la imatge reflectida de l'engranatge.

En una taula de billar, una bola blanca està situada al punt $B(2, 3)$ i una bola vermella a $R(8, 6)$. Un jugador vol colpejar la bola vermella fent que la blanca reboti primer a la banda superior de la taula, que es troba sobre la recta $y = 10$. Suposant que l'angle d'incidència és igual al de reflexió, calcula les coordenades del punt exacte de la banda on ha d'impactar la bola blanca per aconseguir el seu objectiu.

Donades les rectes paral·leles $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ i $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, troba el vector de traslació $\vec{v}$ de menor mòdul que transforma la recta $r$ en la recta $s$. Demostra analíticament que aquest vector és perpendicular a totes dues rectes i que el seu mòdul coincideix amb la distància més curta entre aquestes.

Una isometria en el pla transforma el punt $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ i el punt $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.

1. a) Demostra que la distància entre $A$ i $B$ és la mateixa que entre $A'$ i $B'$.
2. b) Determina si el moviment descrit correspon a una traslació pura o a una simetria central, justificant analíticament la resposta i trobant el vector de traslació o el centre de simetria corresponent.

Donada la recta $r \equiv 2x - y + 1 = 0$ i l'eix de simetria axial $s \equiv x + y - 4 = 0$, es demana trobar l'equació general de la recta simètrica $r'$ respecte d'$s$. Dos estudiants debaten quin procediment seguir:

• La Candela proposa: «Calculo el punt d'intersecció $I = r \cap s$, que és invariant perquè pertany a l'eix ($I' = I$). Després trio un punt auxiliar $P \in r$ amb $P \neq I$, calculo el seu simètric $P'$ respecte a $s$, i la recta buscada serà la que passa per $I$ i $P'$».

• En Mateo proposa: «Prenc dos punts arbitraris diferents $A$ i $B$ sobre la recta $r$, calculo el simètric de cadascun ($A'$ i $B'$) traçant perpendiculars a $s$ i trobant-ne els peus, i després escric la recta que uneix $A'$ i $B'$».

1) Compara la càrrega de càlcul i els avantatges geomètrics d'ambdós mètodes, justificant de manera raonada quin dels dos és més eficient.

2) Aplica el mètode triat per obtenir l'equació general de la recta simètrica $r'$.

En una explotació agrícola d'hivernacles a El Ejido (Almeria), es projecta instal·lar una presa d'aigua $B$ situada sobre el marge d'un canal de reg rectilini, la trajectòria del qual segueix la recta $r \equiv x - 2y + 2 = 0$. La presa ha d'abastir dos sectors de conreu situats a $A(1, 4)$ i $C(7, 6)$ (coordenades expressades en centenars de metres). Es vol ubicar $B$ sobre el canal de manera que la longitud total de canonada instal·lada, $L = d(A, B) + d(B, C)$, sigui mínima.

1) Justifica teòricament, utilitzant les propietats de la simetria axial com a isometria que conserva distàncies, per què la posició òptima de $B$ coincideix amb la intersecció del canal $r$ i el segment que uneix el simètric d'$A$ respecte a $r$ (denotat $A'$) amb el punt $C$.

2) Determina analíticament les coordenades del punt simètric $A'$ respecte a la recta $r$.

3) Troba les coordenades exactes de la presa d'aigua $B$ sobre el canal que minimitza la longitud de la instal·lació.

Repte del tema. Com afecta el vent real una missió de repartiment amb dron al teu municipi? Dissenya i optimitza una ruta de vol integrant dades meteorològiques oficials i GeoGebra.

1. Dades reals: Entra al web de l'AEMET, consulta la predicció de vent a la teva localitat (velocitat en $\text{km/h}$ i direcció) i defineix el vector vent $\vec{v}$ obtenint les seves components cartesianes, mòdul i direcció.

2. Rutes i combinatòria: Situa a GeoGebra la base d'enlairament $O(0,0)$ i $4$ punts de lliurament amb coordenades triades per tu. Calcula quantes rutes de repartiment tancades (visitant els quatre punts sense repetir) són possibles fent servir combinatòria ($P_4$). Tria'n i justifica'n una.

3. Moviments en el pla: Modela el recorregut mitjançant translacions successives (vectors de desplaçament). Suposa vent constant i tria un valor realista del mòdul de la velocitat del dron respecte a l'aire, $\vec{v}_{dron}$. A cada tram, aplica la composició vectorial $\vec{v}_{terra} = \vec{v}_{dron} + \vec{v}$, amb $\vec{v}_{terra}$ paral·lela al tram, per calcular el rumb corregit que compensa la deriva i el temps de cada tram, i comprova que el desplaçament net resultant $\vec{R}$ de la ruta tancada és nul.

4. Informe final: Redacta un document breu (una pàgina) amb l'enllaç o captura de la teva construcció a GeoGebra, la memòria de càlculs algebraics i una conclusió sobre la viabilitat de la ruta.

Es valorarà:

• Rigor en el càlcul de components, mòduls, direccions i recompte combinatori.

• Precisió en modelitzar les translacions i la suma de vectors amb dades reals de l'AEMET a GeoGebra.

• Qualitat tècnica, claredat i justificació en les conclusions de l'informe.