Exercicis: Raons trigonomètriques recíproques

Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\csc \alpha$ i $\sec \alpha$.

Determina el valor exacte de $\sec 60^\circ$ i $\cot 45^\circ$ sense utilitzar la calculadora.

Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ i $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utilitza la relació fonamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcular $\sec \beta$.

Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.

Un angle $\gamma$ compleix que $\sec \gamma < 0$ i $\csc \gamma > 0$. Raona en quin quadrant de la circumferència goniomètrica es troba l'angle $\gamma$.

Sabent que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numèric exacte de l'expressió $\sec^2 \theta - 1$.

Calcula el valor exacte de $\cot \frac{\pi}{6}$ i $\csc \frac{\pi}{4}$.

Si $\cot \alpha = 2$ i $\alpha$ pertany al tercer quadrant, determina el signe i el valor exacte de $\tan \alpha$ i $\csc \alpha$.

La Lucía ha de calcular el valor de $\sec \alpha$ sabent que $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$ i que $\alpha$ és un angle del segon quadrant ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Al seu examen escriu el procediment següent:

Al final afegeix: «Com que la secant prové d'aïllar una arrel quadrada d'una suma de termes al quadrat, el seu resultat sempre és positiu».

1. a) Explica raonadament els dos errors conceptuals que comet la Lucía (l'un en l'aïllament algebraic i l'altre en la seva afirmació sobre el signe de la secant), recolzant-te en la relació entre la secant i el cosinus i en la posició de l'angle a la circumferència goniomètrica.
2. b) Corregeix el càlcul i troba el valor exacte de $\sec \alpha$ i de $\csc \alpha$.

Considera l'angle agut $\alpha = 85^\circ$.

1. a) Sense recórrer a la calculadora per obtenir el valor numèric, estima raonadament si $\sec(85^\circ)$ serà un nombre menor que $1$, proper a $1$ o molt més gran que $1$. Justifica la teva predicció analitzant què passa amb el valor de $\cos \alpha$ a la circumferència goniomètrica a mesura que $\alpha$ s'acosta a $90^\circ$ i tenint en compte la definició $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$.
2. b) Sabent que $\cos(85^\circ) \approx 0,0872$, calcula el valor de $\sec(85^\circ)$ arrondonit a dues xifres decimals i comprova si la teva estimació qualitativa era correcta.
3. c) Basant-te en aquest comportament, és possible trobar algun angle real $\theta$ tal que $\sec \theta = 0,5$? Justifica la teva resposta a partir del rang de valors que pot prendre la funció cosinus.

Sabent que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ i que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacte de les altres raons trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent, cosecant i cotangent).

Simplifica la següent expressió trigonomètrica fins a obtenir una única raó: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.

Demostra la següent identitat trigonomètrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.

Un foc il·lumina una paret des del terra. La distància horitzontal del foc a la base de la paret és de $10$ m. El raig de llum superior forma un angle $\alpha$ amb el terra. La longitud del raig de llum des del foc fins al punt més alt il·luminat a la paret és $L$. Expressa $L$ fent servir la raó secant i calcula el seu valor exacte si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.

Resol la següent equació trigonomètrica indicant totes les solucions en l'interval $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.

Avalua la següent expressió donant el seu valor exacte, sense fer servir aproximacions decimals: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.

Sabent que $\csc x = 3$ i que l'angle $x$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de l'expressió $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.

Demostra que per a qualsevol angle $\alpha$ on les raons estiguin definides, es compleix la següent igualtat: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.

A les instal·lacions solars fotovoltaiques d'Extremadura, la massa d'aire relativa ($AM$) modelitza la longitud relativa de la trajectòria que recorre la radiació directa a través de l'atmosfera terrestre. Per a angles zenitals $\theta$ no gaire propers a l'horitzó ($0^\circ \le \theta \le 75^\circ$), s'empra l'aproximació $AM = \sec \theta$. L'angle zenital $\theta$ i l'angle d'elevació solar sobre el terra $\beta$ són complementaris, és a dir, $\theta + \beta = 90^\circ$.

En un mesurament realitzat en una estació meteorològica de Cáceres, es registra que la cotangent de l'angle d'elevació solar és $\cot \beta = \frac{4}{3}$.

1. a) Demostra algebraicament, a partir de les definicions de les raons recíproques i de les raons d'angles complementaris, que $\sec \theta = \csc \beta$.
2. b) Sense calcular el valor de l'angle en graus i emprant únicament les identitats pitagòriques del tema, determina el valor exacte de la massa d'aire $AM$ en aquesta estació.
3. c) Interpreta matemàticament què li passa a l'expressió $AM = \sec \theta$ quan el Sol se situa exactament a l'horitzó (posta de sol, $\beta = 0^\circ$, la qual cosa equival a $\theta = 90^\circ$). Explica per què aquest model deixa de ser aplicable en aquest instant.

Per simplificar l'expressió trigonomètrica $E(x) = \frac{\sec^2 x + \csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$ en tots els punts on està definida, dos alumnes de 1r de Batxillerat proposen estratègies diferents:

• Mètode de la Clara: Expressar des del principi totes les raons en funció de $\sin x$ i $\cos x$, efectuar la suma de fraccions del numerador i després dividir la fracció resultant entre el denominador.

• Mètode d'en Marcos: Descompondre la fracció algebraica original en una suma de dues fraccions amb el mateix denominador comú, $\frac{\sec^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x} + \frac{\csc^2 x}{\sec^2 x \cdot \csc^2 x}$, simplificar cada sumand i aplicar les identitats fonamentals.

1. a) Aplica pas a pas tots dos mètodes i comprova que amb tots dos s'arriba a una expressió numèrica constant.
2. b) Compara els dos camins i justifica quin d'ells resulta més eficient, assenyalant els avantatges algebraics que presenta respecte a l'altre.
3. c) Determina quins angles de l'interval $[0^\circ, 360^\circ]$ s'han d'excloure del domini d'$E(x)$ per anul·lar algun dels denominadors originals de les raons recíproques involucrades.

Demostra la següent identitat trigonomètrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.

Resol l'equació trigonomètrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$.

En un experiment d'òptica, un raig làser travessa un bloc de cristall de cares planes i paral·leles. La trajectòria del raig dins del cristall té una longitud $L = h \cdot \sec \theta_r$, on $h = 5$ cm és el gruix del bloc i $\theta_r$ és l'angle de refracció. Si el raig incideix des de l'aire amb un angle $\theta_i = 60^\circ$ i l'índex de refracció del cristall és $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacte de la longitud $L$ recorreguda pel làser dins del bloc. (Dada: La llei de Snell estableix que $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).

Simplifica la següent expressió trigonomètrica i expressa-la en funció d'una sola raó trigonomètrica o constant numèrica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.

Resol el següent sistema d'equacions trigonomètriques per a valors de $x, y \in [0, \pi]$:

Un passadís en forma de L té dos trams d'amplades $a = 2$ m i $b = 3$ m que es creuen en angle recte. Una biga rígida de longitud $L$ s'encalla quan intenta girar la cantonada tocant totes dues parets exteriors i la cantonada interior. La longitud de la biga en funció de l'angle $\theta$ que forma amb una de les parets exteriors es pot modelar com a $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacte de $L(\theta)$ quan $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.

Demostra la següent identitat trigonomètrica, indicant els passos algebraics necessaris: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.

Determina tots els valors de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfan l'equació trigonomètrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.

Es vol construir una equació de segon grau de la forma $A x^2 + B x + C = 0$, amb coeficients enters tals que $A > 0$ i $\text{mcd}(A, |B|, |C|) = 1$, les solucions reals de la qual siguin exactament $x_1 = \sec \alpha$ i $x_2 = \csc \alpha$.

Es sap que $\alpha$ és un angle del primer quadrant ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) que satisfà la condició següent:

1. a) Sense calcular l'angle $\alpha$, eleva al quadrat la igualtat anterior i aplica la identitat pitagòrica fonamental per deduir el valor exacte del producte $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
2. b) Utilitzant aquest producte i les definicions de les raons recíproques, calcula la suma de les arrels $S = \sec \alpha + \csc \alpha$ i el producte de les arrels $P = \sec \alpha \cdot \csc \alpha$ en forma de fraccions irreductibles.
3. c) A partir de $S$ i $P$, escriu l'equació $A x^2 + B x + C = 0$ amb els coeficients enters demanats.
4. d) Resol l'equació quadràtica obtinguda per trobar els valors numèrics de $\sec \alpha$ i $\csc \alpha$, i justifica per què era imprescindible que totes dues solucions fossin estrictament més grans que $1$ considerant que $\alpha$ pertany al primer quadrant.

En David ha de resoldre en un examen l'equació trigonomètrica $\sec x - \tan x = \cos x$ a l'interval $[0, 2\pi)$. El seu desenvolupament és el següent:

1. Multiplica tots dos membres per $\cos x$: $\cos x \cdot \sec x - \cos x \cdot \tan x = \cos^2 x \implies 1 - \sin x = \cos^2 x$.

2. Substitueix $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, amb la qual cosa obté $1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$.

3. Cancel·la l'$1$ i factoritza: $\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x (\sin x - 1) = 0$.

4. Conclou que les solucions són: si $\sin x = 0 \implies x = 0$ o $x = \pi$; si $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$. En David escriu com a solució final: $S = \left\{0, \pi, \frac{\pi}{2}\right\}$.

1. a) Identifica quin valor dels obtinguts per en David no pertany al domini de definició de l'equació original i explica la raó analítica i geomètrica per la qual $\sec x$ i $\tan x$ no existeixen en aquest valor.
2. b) Explica quin error algebraic es va cometre al pas 1 que va provocar l'aparició d'aquesta solució falsa o estranya.
3. c) Comprova si els altres dos valors ($x = 0$ i $x = \pi$) són efectivament solucions substituint-los a l'equació original i redacta el conjunt solució rigorós del problema.