Razones trigonométricas recíprocas
El seno, el coseno y la tangente tienen tres "parejas": sus inversos. Aparecen constantemente al simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas, y también en física (la ley de Snell de la refracción usa cosecantes y secantes sin que lo parezca a simple vista). Son solo fracciones invertidas, pero merece la pena dominarlas porque ahorran pasos en la mitad de los ejercicios de este bloque.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es, por definición, el inverso de una de las que ya conoces.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Valores notables de las razones recíprocas
Como son inversos directos, los valores notables de secante, cosecante y cotangente salen de invertir la tabla de seno, coseno y tangente que ya conoces.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Identidades pitagóricas con las recíprocas
La identidad fundamental $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones "recíprocas" que se obtienen dividiendo toda la igualdad entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sin^2\alpha$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Signo y existencia según el cuadrante
Como $\sec\alpha$ tiene el mismo signo que $\cos\alpha$, y $\csc\alpha$ y $\cot\alpha$ el mismo signo que $\sin\alpha$ y $\tan\alpha$ respectivamente, la tabla de signos de las tres razones originales sirve también para las recíprocas, sin aprender nada nuevo.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Simplificar expresiones y demostrar identidades
Para simplificar expresiones con razones recíprocas conviene pasarlo todo a seno y coseno: suele ser el camino más corto para que se cancelen factores.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.