Exercicis: Raons de l'angle doble

Sabent que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha)$.

Atès que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, determina el valor exacte de $\cos(2\alpha)$.

Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expressant el resultat com una fracció irreductible.

Simplifica la següent expressió trigonomètrica a un únic valor numèric exacte:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Calcula el valor exacte de la següent expressió sense utilitzar la calculadora:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Escriu la següent expressió en funció d'una única raó trigonomètrica de l'angle $x$, simplificant al màxim:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Troba el valor exacte de la següent operació utilitzant les identitats de l'angle doble:

$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$

Sabent que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilitzant exclusivament la identitat que relaciona el cosinus de l'angle doble amb el cosinus de l'angle simple.

Marcos ha de calcular el valor de $\sin(2\alpha)$ sabent que $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ i que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Al seu examen escriu la resolució següent:

«Com que es tracta de l'angle doble, el valor del sinus simplement es duplica: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$. Tanmateix, com que el sinus de qualsevol angle real mai no pot ser més gran que $1$, aquest exercici no té solució i l'angle proposat és impossible».

1. a) Identifica els dos errors comesos per Marcos (un de conceptual sobre la suposada linealitat de les raons trigonomètriques i un altre en la seva conclusió final).
2. b) Corregeix l'exercici calculant el valor exacte de $\sin(2\alpha)$ mitjançant la identitat de l'angle doble i determina raonadament en quin quadrant se situa $2\alpha$ trobant el signe de $\cos(2\alpha)$.

Es considera un angle agut $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ del qual se sap que $\cos\alpha = 0,8$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament el signe que tindrà $\cos(2\alpha)$. Per fer-ho, compara $\cos\alpha = 0,8$ amb el valor de referència $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, dedueix si $\alpha$ és més gran o més petit que $45^\circ$ i raona en quin quadrant ha de caure l'angle doble $2\alpha$.
2. b) Selecciona la variant de la fórmula de $\cos(2\alpha)$ que depèn únicament del cosinus per calcular el seu valor numèric exacte en forma decimal. Comprova si el signe obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia.

En la construcció d'una nau industrial, s'han dissenyat dues cobertes contigües. La primera coberta té una inclinació $\alpha$ respecte a la horitzontal tal que $\tan(\alpha) = 0,4$. Per motius de drenatge d'aigua, la segona coberta s'ha dissenyat amb un angle d'inclinació que és exactament el doble que el de la primera, és a dir, $2\alpha$. Calcula el pendent exacte (tangent) de la segona coberta.

En física, l'abast màxim $R$ d'un projectil llançat sobre un terreny horitzontal es modela mitjançant la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, on $v_0$ és la velocitat inicial, $\theta$ és l'angle de llançament i $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ és l'acceleració de la gravetat. Si un canó de proves dispara un projectil amb una velocitat inicial de $30 \text{ m/s}$ i es vol aconseguir un objectiu situat a $45 \text{ m}$ de distància, troba els possibles angles de llançament $\theta$ en graus.

Resol la següent equació trigonomètrica, trobant totes les solucions en l'interval $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Un mecanisme de tisora per a un elevador hidràulic té un pivot central que forma un angle d'obertura $2\alpha$. La força de cisallament en el passador central ve donada per una expressió proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demostra que aquesta expressió es pot simplificar a una única raó trigonomètrica de l'angle $\alpha$.

Resol la següent equació trigonomètrica i dona les solucions en graus per a l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Un raig de llum incideix sobre un sistema de miralls de manera que el seu angle de desviació final és $2\theta$. Si les mesuraments del laboratori indiquen que $\cos(2\theta) = 0,28$ i sabem que l'angle d'incidència $\theta$ és agut, determina el valor exacte de $\sin(\theta)$ i $\cos(\theta)$.

Demostra la següent identitat trigonomètrica, transformant el primer membre fins a obtenir el segon:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

En el rombe $ABCD$ de la figura, les diagonals mesuren $AC = 16 \text{ cm}$ i $BD = 12 \text{ cm}$. Sigui $\alpha$ la meitat de l'angle interior al vèrtex $A$. Calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha)$ i $\cos(2\alpha)$ per determinar el sinus i el cosinus de l'angle complet $\widehat{A}$.

Per resoldre a l'interval $[0, 2\pi)$ l'equació trigonomètrica $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Alba proposa: «Divideixo tots dos membres entre $\cos(x)$ per obtenir $\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} - \sqrt{3} = 0$, substitueixo $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, simplifico el factor $\cos(x)$ i aïllo directament $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$».

• Bruno proposa: «Substitueixo primer $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ a l'equació, trec factor comú $\cos(x)$ sense dividir entre cap incògnita i igualo cada factor a zero».

1. a) Analitza críticament el mètode d'Alba: explica quina infracció algebraica comet en dividir entre $\cos(x)$ i quines solucions concretes de l'interval $[0, 2\pi)$ es perden si s'aplica el seu procediment.
2. b) Desenvolupa de manera completa i rigorosa el mètode de Bruno i escriu totes les solucions exactes de l'equació a l'interval $[0, 2\pi)$ expressades en radians.

Al Centre d'Alt Rendiment (CAR) de Sierra Nevada (Granada), un equip de biomecànica analitza l'abast horitzontal dels tirs a porteria en futbol. D'acord amb el model físic simplificat sobre terreny pla, l'abast horitzontal ve donat per l'expressió $d(\alpha) = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$, on $v_0$ és la velocitat inicial del xut, $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$ i $\alpha$ és l'angle d'elevació respecte a l'horitzontal ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

En un primer assaig amb velocitat $v_0$ fixa, un futbolista xuta la pilota amb un angle $\alpha_1$ tal que $\tan(\alpha_1) = \frac{3}{4}$.

1. a) Calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha_1)$ per determinar el coeficient d'abast d'aquest primer tir.
2. b) Si en un segon llançament amb idèntica velocitat inicial el jugador duplica l'angle d'elevació a $\alpha_2 = 2\alpha_1$, calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha_2) = \sin(4\alpha_1)$ aplicant de manera successiva les raons de l'angle doble.
3. c) Compara tots dos abastos ($d(\alpha_1)$ respecte a $d(\alpha_2)$) i raona físicament per què duplicar la inclinació inicial del xut no duplica la distància assolida, sinó que produeix l'efecte contrari.

Demostra la següent identitat trigonomètrica, vàlida per a qualsevol angle $x$ on les expressions estiguin definides:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Un braç robòtic pla consta de dos esglaons, tots dos de longitud $L$. El primer esglaó forma un angle $\alpha$ amb l'eix horitzontal positiu. El segon esglaó forma un angle $2\alpha$ respecte a la horitzontal. La coordenada $x$ de l'efector final $P$ ve donada per l'expressió $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacte de l'angle $\alpha \in [0, \pi/2]$ per al qual l'efector final es situa exactament sobre l'eix Y ($x_P = 0$).

Resol la següent equació trigonomètrica, determinant totes les solucions en l'interval $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

Troba els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals l'equació $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ té exactament una solució en l'interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Demostra primer la identitat $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuació, utilitza aquest resultat per resoldre l'equació $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$.

En una circumferència de centre $O$ i radi $R$, l'angle central $\widehat{AOB}$ mesura $2\alpha$ i subtendeix la corda $AB$. Un punt $P$ situat al punt mitjà de l'arc major subtendeix un angle inscrit $\widehat{APB}$ que mesura $\alpha$. Sabent que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula la raó (el quocient) entre l'àrea del triangle central $\triangle OAB$ i l'àrea del triangle inscrit $\triangle PAB$.

Resol el següent sistema d'equacions trigonomètriques per a $x, y \in [0, \pi/2]$:

$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$

La funció d'ingressos d'una empresa per la venda d'un producte estacional ve donada per l'expressió $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, on $x$ és el temps en mesos transcorregut ($x \ge 0$). Expressa $I(x)$ en funció de $\sin(2x)$ i $\cos(2x)$, i determina l'ingrés màxim que pot aconseguir l'empresa.

Es volen dissenyar i reconstruir equacions trigonomètriques a partir de les seves condicions geomètriques i de les seves solucions.

1. a) Se sap que un determinat angle $\alpha$ pertanyent al segon quadrant $\left(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$ satisfà que $\cos(2\alpha) = -\frac{7}{25}$. Dedueix de manera unívoca els valors exactes de $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ i $\tan\alpha$, justificant la tria del signe a cada pas a partir del quadrant de procedència.
2. b) Construeix una equació trigonomètrica de la forma $\cos(2x) + b\cos(x) + c = 0$ (amb $b, c \in \mathbb{R}$) les úniques solucions de la qual a l'interval tancat $[0, \pi]$ siguin exactament $x = \frac{\pi}{3}$ i $x = \pi$. Mostra pas a pas com determines els coeficients $b$ i $c$ plantejant prèviament una equació quadràtica en la variable auxiliar $u = \cos(x)$, i comprova que en aquest interval no s'introdueix cap solució espúria.

Es considera la funció $f(x) = \sin(2x) - 2\sin(x)$ definida a l'interval $[0, 2\pi]$.

1. a) Aplica la fórmula de l'angle doble per expressar $f(x)$ com un producte de la forma $2\sin(x)(\cos(x) - 1)$ i determina de manera exacta tots els punts de l'interval $[0, 2\pi]$ on la gràfica talla l'eix horitzontal ($f(x) = 0$).
2. b) Fes un estudi analític del signe de cadascun dels factors en els diferents quadrants i demostra, sense recórrer a derivades ni a gràfiques per ordinador, que $f(x) \le 0$ per a tot $x \in [0, \pi]$ i que $f(x) \ge 0$ per a tot $x \in [\pi, 2\pi]$. Pot $f(x)$ prendre valors estrictament positius al primer quadrant? Justifica la teva resposta.
3. c) Un estudiant afirma: «Atès que el valor mínim de $\sin(2x)$ és $-1$ i el valor mínim de $-2\sin(x)$ és $-2$, el valor mínim absolut que pot assolir $f(x)$ és $-1 + (-2) = -3$». Refuta aquest raonament explicant per què no es poden optimitzar tots dos termes de manera independent i comprova que per a $x = \frac{2\pi}{3}$ la funció assoleix un valor inferior a $-2,5$ mitjançant el càlcul del seu valor exacte.