Función logarítmica

Determina el dominio de definición de la función logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado utilizando intervalos.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Presta especial atención a los puntos que anulan el numerador, el denominador y el argumento del logaritmo.

Utilizando las propiedades de los logaritmos, desarrolla la siguiente expresión para escribirla como suma y resta de logaritmos más sencillos:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Halla los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Halla los puntos de corte con los ejes coordenados (eje X y eje Y, si existen) de la función $g(x) = \ln(x - 2)$.

Dada la función $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica razonadamente si es una función creciente o decreciente en todo su dominio y calcula el valor exacto de $h(1)$ y $h(4)$.

Describe de forma precisa qué transformaciones geométricas (desplazamientos) hay que aplicar a la gráfica de la función elemental $f(x) = \ln(x)$ para obtener la gráfica de la función $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Escribe la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) $f^{-1}(x)$ de la función exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

A partir de la siguiente representación gráfica de la función $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analíticamente su dominio, su recorrido, la ecuación de su asíntota vertical y las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes X e Y.

Analiza la relación de simetría entre las funciones $f(x) = e^{x-1}$ y $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa la gráfica adjunta que muestra ambas curvas y la bisectriz del primer cuadrante. Demuestra analíticamente que son funciones inversas calculando la composición $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica aplicando la definición de logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica, comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. Asegúrate de comprobar las posibles soluciones en la ecuación original para descartar raíces falsas:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

En química, el pH de una disolución se define mediante la expresión $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Calcula el pH de un zumo de naranja cuya concentración de iones de hidrógeno es $[H^+] = 10^{-3,2}$.

El nivel de intensidad sonora $\beta$, medido en decibelios (dB), se calcula mediante la fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral estándar de audición. Si el despegue de un avión a reacción genera un nivel de ruido de $140 \text{ dB}$, ¿cuál es la intensidad $I$ de ese sonido en $\text{W/m}^2$?

En la escala sismológica de Richter, la magnitud $M$ de un terremoto se relaciona con la energía liberada $E$ (en ergios) mediante la ecuación empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcula cuántas veces es mayor la energía liberada por un terremoto de magnitud $7,0$ en comparación con la energía liberada por uno de magnitud $5,0$.