Exercicis: Funció logarítmica

Determina el domini de definició de la funció logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Troba els punts de tall amb els eixos coordenats (eix X i eix Y, si n'hi ha) de la funció $g(x) = \ln(x - 2)$.

Donada la funció $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica raonadament si és una funció creixent o decreixent en tot el seu domini i calcula el valor exacte de $h(1)$ i $h(4)$.

Escriu l'expressió analítica de la funció inversa (o recíproca) $f^{-1}(x)$ de la funció exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

Resol la següent equació logarítmica aplicant la definició de logaritme:

$\log_2(3x + 1) = 4$

En química, el pH d'una dissolució es defineix mitjançant l'expressió $pH = -\log[H^+]$, on $[H^+]$ representa la concentració d'ions d'hidrogen en mols per litre. Calcula el pH d'un suc de taronja la concentració d'ions d'hidrogen del qual és $[H^+] = 10^{-3,2}$.

Descriu de forma precisa quines transformacions geomètriques (desplaçaments) s'han d'aplicar a la gràfica de la funció elemental $f(x) = \ln(x)$ per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Utilitzant les propietats dels logaritmes, desenvolupa la següent expressió per escriure-la com a suma i resta de logaritmes més senzills:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

En calcular el domini i l'asimptota vertical de la funció $f(x) = \log_5(8 - 2x)$, en Mateo escriu al seu examen:

«Pas 1: Perquè existeixi el logaritme, el seu argument no pot ser negatiu, així que plantejo $8 - 2x \geq 0 \implies 8 \geq 2x \implies x \leq 4$. El domini és $(-\infty, 4]$.»

«Pas 2: Com que el logaritme s'anul·la o tendeix a infinit a l'extrem del domini, la recta $x = 4$ és la seva asimptota vertical, i la corba talla aquesta asimptota en el punt $(4, 0)$.»

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Mateo i explica per què són contradictoris entre si segons la definició d'asimptota vertical.
2. b) Corregeix la resolució: escriu el domini correcte en forma d'interval, calcula raonadament l'equació de l'asimptota vertical i determina el punt de tall real de la gràfica amb l'eix d'abscisses.

Considera la funció logarítmica $f(x) = \log_2(x - 3)$.

1. a) Sense utilitzar la calculadora, estima entre quins dos nombres enters consecutius se situa el valor de $f(25)$. Justifica la teva predicció acotant l'argument entre dues potències consecutives de base $2$ i argumenta si el valor estarà més a prop de l'enter menor o del major.
2. b) Calcula el valor numèric de $f(25)$ amb la calculadora mitjançant la fórmula del canvi de base (emprant logaritmes decimals o neperians), arrodoneix el resultat a dos decimals i comprova si confirma la teva estimació.
3. c) Un estudiant afirma que si $f(x)$ pren un valor negatiu, llavors $x$ ha de ser necessàriament negatiu. Resol de manera exacta l'equació $f(x) = -2$ i utilitza el resultat per desmentir aquesta afirmació, comprovant que la solució pertany al domini de la funció.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expressa el resultat utilitzant intervals.

A partir de la representació gràfica següent de la funció $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analíticament el seu domini, el seu recorregut, l'equació de la seva asímptota vertical i les coordenades exactes dels punts de tall amb els eixos X i Y.

El nivell d'intensitat sonora $\beta$, mesurat en decibels (dB), es calcula mitjançant la fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat del so en $\text{W/m}^2$ i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ és el llindar estàndard d'audició. Si l'enlairament d'un avió a reacció genera un nivell de soroll de $140 \text{ dB}$, quina és la intensitat $I$ d'aquest so en $\text{W/m}^2$?

A l'escala sismològica de Richter, la magnitud $M$ d'un terratrèmol es relaciona amb l'energia alliberada $E$ (en ergis) mitjançant l'equació empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcula quantes vegades és més gran l'energia alliberada per un terratrèmol de magnitud $7,0$ en comparació amb l'energia alliberada per un de magnitud $5,0$.

Resol la següent equació logarítmica, comprovant la validesa de les solucions obtingudes:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

El valor comptable d'un servidor informàtic d'alta capacitat es deprecia amb el temps segons la funció exponencial $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, on $V$ és el valor en euros i $t$ és el temps transcorregut en anys des de la seva compra. Troba l'expressió analítica de la funció inversa $t(V)$ i explica breument quina magnitud permet calcular aquesta nova funció.

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan el següent sistema d'equacions no lineals:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Estudia la continuïtat de la següent funció definida a trossos en el punt $x = 1$. Si hi ha cap discontinuïtat, classifica-la indicant de quin tipus és.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Determina l'expressió algebraica d'una funció logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b) + c$ sabent que compleix simultàniament les condicions següents:

1. El seu domini de definició és l'interval $(-3, +\infty)$ i la recta $x = -3$ és la seva asimptota vertical.

2. La seva gràfica talla l'eix d'abscisses en el punt $(5, 0)$.

3. La gràfica passa pel punt $(1, -1)$.

Per resoldre-ho:

1. a) Dedueix de manera raonada el valor del paràmetre $b$ a partir de la informació sobre el domini i l'asimptota.
2. b) Planteja un sistema d'equacions amb les condicions 2 i 3 i resol-lo utilitzant les propietats dels logaritmes per trobar els valors exactes de la base $a$ i del terme independent $c$.
3. c) Justifica si la funció obtinguda és estrictament creixent o decreixent en el seu domini i calcula les coordenades del punt de tall de la seva gràfica amb l'eix d'ordenades.

A Espanya, la Llei 37/2003 del Soroll regula els nivells de contaminació acústica a les ciutats. El nivell de pressió sonora $L$, mesurat en decibels ($\text{dB}$), es modelitza mitjançant la funció logarítmica:

on $I$ és la intensitat física del so en watts per metre quadrat ($\text{W/m}^2$) i $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ representa el llindar mínim d'audició humana.

Durant les obres de remodelació d'una avinguda a València, es mesuren per separat dos focus d'emissió acústica contínua: el trànsit rodat, que genera una intensitat $I_1 = 10^{-5}\text{ W/m}^2$, i un compressor d'obra, que genera $I_2 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$.

1. a) Calcula el nivell sonor en decibels que produeix cada focus per separat, $L(I_1)$ i $L(I_2)$, aplicant la definició de logaritme sense fer servir calculadora.
2. b) Una associació veïnal sosté que quan ambdues fonts funcionen alhora, el nivell sonor total serà la suma dels decibels de cadascuna ($L(I_1) + L(I_2)$). Sabent que les intensitats físiques se sumen directament ($I_{\text{total}} = I_1 + I_2$), demostra mitjançant les propietats dels logaritmes per què la suma de decibels és matemàticament incorrecta i calcula el nivell de soroll real conjunt $L(I_{\text{total}})$. (Dada: $\log_{10}(1{,}1) \approx 0{,}041$).
3. c) Si el límit legal permès per a aquesta zona en horari diürn és de $85\text{ dB}$, raona si les obres estan dins de la legalitat o la vulneren.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Para especial atenció als punts que anul·len el numerador, el denominador i l'argument del logaritme.

Analitza la relació de simetria entre les funcions $f(x) = e^{x-1}$ i $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa la gràfica adjunta que mostra totes dues corbes i la bisectriu del primer quadrant. Demostra analíticament que són funcions inverses calculant la composició $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$.

Resol la següent equació logarítmica. Assegura't de comprovar les possibles solucions en l'equació original per descartar arrels falses:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

La llei de desintegració radioactiva del carboni-14 ve donada per la funció $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, on $N_0$ és la quantitat inicial d'isòtop, $N(t)$ és la quantitat restant en l'instant $t$ (en anys) i $\lambda$ és la constant de desintegració. Sabent que el període de semidesintegració (temps necessari perquè la quantitat inicial es redueixi exactament a la meitat) és de $5730$ anys, calcula el valor exacte de la constant $\lambda$. Posteriorment, determina l'edat aproximada d'un fòssil ossi que conserva només el $15\%$ del seu carboni-14 original.

Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura $T$ d'un cos en un instant $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, on $T_a$ és la temperatura ambient constant i $T_0$ és la temperatura inicial del cos. Una tassa de te a $90^\circ\text{C}$ es deixa reposar en una habitació la temperatura de la qual és de $20^\circ\text{C}$. Si transcorreguts $10$ minuts la temperatura del te ha baixat a $60^\circ\text{C}$, troba el valor exacte de la constant de refredament $k$. A continuació, calcula quant de temps total ha de transcórrer des de l'inici perquè la temperatura baixi a $35^\circ\text{C}$.

Determina els valors numèrics dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció logarítmica $f(x) = \ln(ax + b)$ compleixi simultàniament dues condicions: tenir una asímptota vertical a la recta d'equació $x = -3$ i passar pel punt de coordenades $(2, 0)$.

Resol el següent sistema que combina equacions exponencials i logarítmiques, trobant els valors de $x$ i $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

Donada la funció $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ el domini de la qual és l'interval $x \in (-1, 1)$, demostra analíticament, utilitzant les propietats dels logaritmes, que es compleix la identitat $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ per a qualsevol parell de valors $a$ i $b$ pertanyents al domini que facin que l'expressió tingui sentit.

Per resoldre l'equació logarítmica $\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2$, es proposen tres estratègies de treball:

• Mètode 1 (Agrupació per producte): Aplicar la propietat de la suma de logaritmes per transformar l'equació en $\log_2((x+2)(x-1)) = 2$, passar a la forma exponencial $(x+2)(x-1) = 2^2$ i resoldre l'equació quadràtica resultant.

• Mètode 2 (Igualació d'arguments): Escriure el terme independent com a $2 = \log_2(4)$, agrupar el primer membre en un únic logaritme i igualar directament els arguments: $(x+2)(x-1) = 4$.

• Mètode 3 (Aïllament i quocient): Aïllar un logaritme, $\log_2(x+2) = 2 - \log_2(x-1)$, transformar el segon membre en $\log_2(4) - \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{4}{x-1}\right)$, i igualar els arguments: $x+2 = \frac{4}{x-1}$.

1. a) Resol l'equació desenvolupant els passos algebraics complets mitjançant el Mètode 1 i el Mètode 3.
2. b) En tots tres mètodes sorgeix la solució algebraica $x = -3$. Explica de manera rigorosa per què aquesta solució és espúria (no vàlida), detallant en quin pas exacte de la manipulació algebraica s'amplia el domini de validesa respecte al domini original de l'equació.
3. c) Compara els tres mètodes analitzant quin resulta algebraicament més segur per evitar introduir errors de càlcul o denominadors nuls, i justifica quina comprovació inexcusable s'ha de realitzar sempre, amb independència del mètode triat.

Una funció logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(b \cdot x + c)$, amb base $a>0$, $a \neq 1$ i coeficient $b>0$, té com a funció inversa la funció exponencial $f^{-1}(x) = \frac{3^x - 7}{4}$.

1. a) Determina raonadament els valors exactes de les constants $a$, $b$ i $c$. Per fer-ho, aïlla la variable independent a partir de l'expressió de $f^{-1}$ utilitzant la definició de logaritme i la propietat de reciprocitat entre funcions inverses.
2. b) Determina amb rigor el domini i el recorregut de $f(x)$, així com l'equació de la seva asimptota vertical. Explica com es corresponen aquests elements amb el recorregut i el domini de $f^{-1}(x)$ a través de la simetria gràfica respecte a la recta $y = x$.
3. c) Obtén les expressions algebraiques simplificades de les funcions compostes $(f \circ f^{-1})(x)$ i $(f^{-1} \circ f)(x)$. Justifica per a quin conjunt de nombres reals és vàlida cadascuna d'elles i explica per què el fet que els seus dominis no coincideixin no contradiu la definició de funcions inverses.