Logaritmos

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.

Reduce a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcula su valor numérico:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Aplica las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

Desarrolla la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Agrupa la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Utiliza la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de tu calculadora. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Simplifica la siguiente expresión logarítmica combinada y calcula su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

Demuestra, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números $a, b > 0$ y distintos de $1$. Una vez demostrado, aplica este resultado para calcular mentalmente el valor de $\log_8 2$ sabiendo previamente que $\log_2 8 = 3$.

Calcula el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Expresa el resultado final redondeado a las centésimas (puedes hacer uso de la calculadora para el paso final).

Resuelve la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.

Un capital de $5000$ € se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%$ anual. ¿Cuántos años completos deben transcurrir para que el capital acumulado supere los $7000$ €?

Recuerda que la fórmula del capital final es $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. ¿Cuánto tiempo exacto debe pasar para que la población alcance la cifra de $100000$ bacterias?

Un vehículo nuevo tiene un coste inicial de $24000$ €. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%$. La función que describe su valor residual al cabo de $t$ años es $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. ¿Cuántos años deben pasar para que el valor del coche se reduzca exactamente a la mitad de su precio original?

Resuelve la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Expresa el resultado final redondeado a las milésimas.

En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en días. Se sabe que el día inicial ($t = 0$) la cuenta tenía $200$ seguidores y el día $5$ alcanzó los $6400$ seguidores. Calcula primero el valor exacto de la constante de crecimiento $k$. A continuación, determina en qué día exacto superará la barrera del millón de seguidores.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:

El pH de una disolución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una muestra de zumo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, ¿cuál es el valor de su pH?

La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si un terremoto concreto registra una amplitud $1000$ veces mayor que $A_0$, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter? Además, determina cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud $6$ respecto a uno de magnitud $4$.

Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la calculadora, apoyándote solo en las propiedades de los logaritmos.

El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el umbral mínimo de audición humana. Si el ruido del tráfico intenso en una avenida registra un nivel de $85$ dB, ¿cuál es su intensidad acústica $I$? Si una taladradora de obra emite con el doble de intensidad acústica que dicho tráfico, ¿cuántos decibelios exactos registrará el sonómetro?

La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de desintegración es $\lambda \approx 0,0001209$ y $t$ es el tiempo transcurrido en años. Si en un fragmento de hueso prehistórico se detecta mediante análisis de laboratorio que solo queda un $30\,\%$ de su cantidad original de $C-14$ (es decir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), ¿cuál es la antigüedad estimada del hueso?

El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de bacterias $N(t)$) es logarítmica en base 10, mientras que el eje horizontal (tiempo en horas) es de escala lineal. Observando la recta que describe el comportamiento de la colonia A, halla su función exponencial asociada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabiendo que pasa exactamente por los puntos $(0, 10^2)$ y $(4, 10^4)$. ¿En qué instante $t$ la colonia A alcanzará exactamente el millón de bacterias ($10^6$)?