Exercicis: Operacions amb successions. Indeterminacions

Calcula el límit de la successió $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.

Determina el valor del límit de la successió $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.

Troba el límit de la successió $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.

Resol la indeterminació $\infty - \infty$ en la successió següent operant prèviament les fraccions algebraiques:

$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$

Calcula el límit de la successió de tipus exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.

Resol el límit següent amb radicals multiplicant i dividint per l'expressió conjugada:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$

Donades les successions $a_n = \frac{2n}{n+1}$ i $b_n = 3n^2$, calcula els límits $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ i $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.

Troba el límit de la successió $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.

En un examen de Matemàtiques I, en Marcos ha de calcular el límit $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Escriu al seu full: «Com que $\lim \frac{2n^2+3}{n} = \infty$ i $\lim 2n = \infty$, aleshores el resultat és $\infty - \infty = 0$».

1. a) Explica raonadament per què l'argument d'en Marcos és matemàticament incorrecte i què significa en realitat que $\infty - \infty$ sigui una indeterminació.
2. b) Resol el límit de manera rigorosa transformant l'expressió mitjançant un comú denominador.

Donada la successió de terme general $a_n = \frac{6n^2 + 50n}{2n^2 - 7}$:

1. a) Calcula mentalment o amb l'ajuda de la calculadora els termes $a_{10}$, $a_{100}$ i $a_{1000}$ (arredonint a dues xifres decimals) i, a partir d'aquests, emet una estimació raonada sobre quin serà el valor cap al qual tendeix la successió quan $n \to \infty$.
2. b) Calcula de manera formal el $\lim_{n \to \infty} a_n$ aplicant les regles operacionals per a quotients de polinomis (dividint numerador i denominador per la màxima potència de $n$).
3. c) Compara la teva estimació inicial amb el resultat exacte obtingut i reflexiona sobre la influència del terme lineal $50n$ a mesura que $n$ es fa arbitràriament gran.

El nombre de seguidors d'un canal de divulgació científica creix segons la successió $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, on $n$ és el temps en mesos i $S_n$ el nombre de seguidors en milers. Cap a quin valor s'estabilitza l'audiència del canal a molt llarg termini?

La desviació en mil·límetres d'un braç robòtic en la seva iteració $n$ ve donada per la successió $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula l'error de desviació límit quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit.

Identifica la indeterminació i calcula el límit de la successió $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.

Un analista financer estudia el rendiment d'un fons d'inversió la taxa de retorn del qual en el mes $n$ segueix la successió $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendiment límit resolent la indeterminació corresponent.

Resol la indeterminació en la successió amb radicals iterats al numerador i al denominador:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$

La temperatura d'un component electrònic en un procés d'refredament iteratiu segueix la successió $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en graus Celsius per sobre de la temperatura ambient. Determina el límit d'aquesta temperatura.

Calcula el límit de la diferència de fraccions algebraiques:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$

L'índex de migració neta d'una regió s'estima segons la successió $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendència límit d'aquest índex quan $n \to \infty$.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) publica periòdicament indicadors sobre sostenibilitat urbana. En una comarca espanyola que ha implantat un pla intensiu de reciclatge de residus tecnològics, es modelitza el percentatge d'aparells recollits adequadament després de $n$ anys de campanya mitjançant la successió:

1. a) Determina el percentatge de recollida estimat per al primer any ($n = 1$) i per al quart any ($n = 4$).
2. b) Calcula $\lim_{n \to \infty} P_n$ detallant cada pas en la resolució de la indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) La Unió Europea estableix com a objectiu que els municipis superin de manera continuada el $80\,\%$ de recollida selectiva. A partir del valor del límit obtingut, interpreta si aquesta comarca aconseguirà a llarg termini estabilitzar-se per sobre d'aquesta fita o si el pla resultarà insuficient.

Dissenya el terme general d'una successió racional $a_n = \frac{p\cdot n + q}{r\cdot n + s}$ (amb $p, q, r, s \in \mathbb{R}$ i $r \neq 0$) que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1) El seu límit a l'infinit sigui exactament $4$: $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$.

2) El seu primer terme sigui $a_1 = 1$.

3) La successió sigui estrictament creixent per a tot $n \ge 1$ (és a dir, $a_{n+1} > a_n$).

Explica la deducció pas a pas dels valors que tries per als coeficients i demostra algebraicament que la successió que has proposat és estrictament creixent per a tot $n \ge 1$.

Troba el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè el límit de la successió $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sigui igual a $5$.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$

En un procés de cristal·lització, la concentració d'un reactiu segueix la successió $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si es sap que la concentració límit a llarg termini és $e^6$, quin ha de ser el valor del paràmetre $a$?

Resol el límit següent que combina la suma dels $n$ primers termes d'una progressió aritmètica i una indeterminació polinòmica:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$

Resol la indeterminació $\infty - \infty$ generada per la diferència de dues arrels quadrades de polinomis quadràtics:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$

Demostra, calculant el límit, cap a quin valor tendeix la successió definida per $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.

La inflació acumulada en un model teòric macroeconòmic ve donada per la successió $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límit de la inflació quan $n \to \infty$.

En l'estudi de l'energia cinètica relativista a baixes velocitats, s'utilitza una aproximació matemàtica que involucra la successió $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina el valor del límit de la successió $E_n$ quan $n \to \infty$.

Per resoldre el límit $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 2n}\right)$, tres alumnes de 1r de Batxillerat proposen estratègies diferents:

• Lucía (Mètode A): Extreu $n$ com a factor comú escrivint $n\left(\sqrt{1 + \frac{6}{n}} - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)$, substitueix $\frac{6}{n} \to 0$ i $\frac{2}{n} \to 0$, i conclou que el límit és $\infty \cdot (1 - 1) = \infty \cdot 0 = 0$.

• David (Mètode B): Multiplica i divideix pel conjugat de l'expressió per transformar la indeterminació $\infty - \infty$ en un quotient d'infinits.

• Elena (Mètode C): Completa quadrats dins de cada arrel observant que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9$ i que $n^2 - 2n = (n-1)^2 - 1$. Raona que per a valors gegantins de $n$, els nombres $-9$ i $-1$ són menyspreables enfront dels quadrats, per la qual cosa aproxima la resta per $(n+3) - (n-1) = 4$.

Tartes:

1) Explica amb precisió per què el raonament de la Lucía és incorrecte i en quin punt comet un error lògic.

2) Desenvolupa per complet el càlcul aplicant el Mètode B d'en David i obtén el valor exacte del límit.

3) Compara la validesa formal del mètode d'en David enfront de l'aproximació heurística de l'Elena: es pot considerar la proposta de l'Elena una demostració rigorosa en un examen o només una conjectura intuïtiva? Justifica la teva resposta.

Considera la família de successions dependent de dos paràmetres reals $a, b \in \mathbb{R}$ donada per:

1. a) Analitza quin tipus de comportament o indeterminació presenta $\lim_{n \to \infty} x_n$ quan $a < 0$, quan $a = 0$ i quan $a > 0$ amb $a \neq 3$. Dedueix raonadament quin valor ha de tenir necessàriament el paràmetre $a$ perquè el límit sigui un nombre real finit.
2. b) Fixat aquest valor de $a$, determina el valor exacte del paràmetre $b$ perquè es verifiqui la igualtat $\lim_{n \to \infty} x_n = -1$.
3. c) Amb els paràmetres $a$ i $b$ trobats, analitza si els termes de la successió s'aproximen a $-1$ per sobre (valors més grans que $-1$) o per sota (valors més petits que $-1$) per a valors grans de $n$. Justifica la teva conclusió estudiant el signe de la diferència $x_n - (-1)$.