Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones
Ya sabes calcular el límite de una sucesión aislada. Ahora toca combinar varias: sumarlas, multiplicarlas, dividirlas. La mayoría de las veces el límite se comporta como esperas, pero hay combinaciones donde el resultado "desaparece" en una indeterminación, y hace falta una técnica para destaparlo.
Álgebra de límites
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
El catálogo de indeterminaciones
Cuando intervienen infinitos o ceros, algunas combinaciones no tienen un resultado automático: hay que operar antes de poder aplicar el álgebra de límites.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Resolver $\frac{\infty}{\infty}$ con fracciones algebraicas
Cuando numerador y denominador son sumas o restas de potencias, conviene desarrollar y simplificar antes de aplicar el criterio de grados.
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión…
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:…
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
Resolver $\infty - \infty$: diferencia de fracciones y radicales
Con fracciones algebraicas, se suman o restan como fracciones normales y se simplifica. Con radicales, se multiplica y divide por el conjugado, igual que en el apartado anterior.
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite…
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:…
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
La indeterminación $1^{\infty}$: un avance
Cuando la base de una potencia tiende a $1$ y el exponente tiende a infinito, el resultado no es automáticamente $1$: depende de la "velocidad" con la que la base se acerca a $1$. Esta indeterminación aparece constantemente con intereses compuestos y poblaciones, y tiene su propia técnica, que verás a fondo (junto con el número $e$) en el siguiente apartado.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.