Exercicis: Límit d'una successió

Determina si la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ és convergent, divergent o oscil·lant. Si és convergent, indica quin és el seu límit.

Calcula el límit de la successió polinòmica següent quan $n$ tendeix a infinit:

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Troba el límit de la successió racional donada per l'expressió:

$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$

Calcula el límit de la successió següent, identificant prèviament els graus del numerador i del denominador:

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

Determina el valor cap al qual tendeix la successió $e_n$ per a valors molt grans de $n$:

$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$

Estudia el comportament i calcula el límit de la successió de tipus exponencial:

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

Aplicant la definició del nombre $e$, calcula el límit de la successió següent:

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calcula el límit de la successió que involucra una arrel quadrada simple al numerador:

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

En Lucas està resolent el límit de la successió $a_n = \dfrac{3n + (-1)^n \cdot 4}{2n - 1}$ i escriu al seu examen: «Com que el terme $(-1)^n$ va alternant indefinidament entre $-1$ i $1$, la successió fa salts tota l'estona i, per tant, és una successió oscil·lant que no té límit». Identifica l'error conceptual d'en Lucas, explica per què la seva afirmació és falsa i calcula de manera correcta $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$, classificant la successió en convergent, divergent o oscil·lant.

Considera la successió de terme general $a_n = \dfrac{4n^2 - 5}{2n^2 + 3n}$. Abans d'operar formalment, calcula amb dues xifres decimals el valor dels termes per a $n = 10$, $n = 100$ i $n = 1000$, i fes a partir d'aquests una estimació raonada del valor al qual creus que s'aproxima la successió. A continuació, calcula el límit de manera analítica mitjançant la comparació de graus de polinomis i comprova si la teva estimació inicial era correcta, indicant si la successió és convergent o divergent.

La temperatura en graus Celsius d'una peça de metall que s'refreda en una habitació segueix la successió $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, on $n$ és el temps transcorregut en minuts. Calcula el límit de la successió $T_n$ quan $n \to \infty$ i interpreta el resultat en el context del problema.

Resol la indeterminació que es presenta en calcular el límit de la diferència següent de successions racionals:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calcula el límit de la successió irracional següent, multiplicant i dividint per l'expressió conjugada per resoldre la indeterminació:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

La població de peixos d'una piscifactoria sostenible creix d'acord amb el model matemàtic $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, on $n$ representa el nombre de dies des de la introducció dels alevins. Determina la capacitat de càrrega de l'entorn, és a dir, el límit de la població de peixos a llarg termini.

Calcula el límit de la successió, transformant l'expressió per aplicar el límit del nombre $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

Es dipositen $5000$ euros en un fons d'inversió que ofereix un interès anual del $3,5\%$. Si l'entitat capitalitza els interessos $n$ vegades a l'any, el capital acumulat després de $10$ anys ve donat per la successió $C_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0,035}{n}\right)^{10n}$. Calcula el capital límit que s'obtindria si la capitalització fos contínua ($n \to \infty$).

Troba el límit de la successió següent, desenvolupant prèviament els productes notables del numerador per identificar els termes de major grau:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$

A partir d'un quadrat d'àrea $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, es construeix una successió de quadrats unint els punts mitjans dels costats del quadrat anterior, tal com mostra la figura. Sabent que l'àrea de cada nou quadrat és la meitat de l'àrea del quadrat anterior, calcula el límit de la suma de les àrees dels infinits quadrats així construïts: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) projecta l'evolució de la població d'un petit municipi rural de Castella i Lleó. Segons aquest model, la població $P_n$ (expressada en centenars d'habitants) al cap de $n$ dècades transcorregudes des de l'any 2020 ve donada per la successió $P_n = \dfrac{18n + 45}{3n + 5}$. Calcula la població inicial estimada el 2020 ($n = 0$), la prevista per al 2040 ($n = 2$) i el límit $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n$. A partir d'aquest últim valor, interpreta en el context del problema si el model prediu la desaparició del poble per despoblació o la seva estabilització a llarg termini, indicant a quin nombre exacte d'habitants tendiria.

Dissenya el terme general d'una successió racional $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ (on $P(n)$ i $Q(n)$ són polinomis de grau 1 amb coeficients enters) que compleixi simultàniament tres condicions: el seu primer terme ha de ser $a_1 = 2$, ha de ser estrictament creixent per a tot $n \geq 1$ i el seu límit quan $n \to \infty$ ha de ser exactament $5$. Un cop trobada la teva fórmula per a $a_n$, calcula a partir de quin nombre natural $N$ es verifica que la distància entre els termes de la successió i el seu límit és menor que $\varepsilon = 0,02$ (és a dir, $|a_n - 5| < 0,02$ per a tot $n > N$).

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ (amb $b > 0$) perquè es compleixi la igualtat següent:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$

Donada la successió $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabem que el seu límit és $L = 4$. Utilitzant la definició formal de límit, esbrina a partir de quin terme $n$ es compleix que la distància entre els termes de la successió i el seu límit és estrictament menor que una mil·lèsima, és a dir, $|a_n - 4| < 0,001$.

Resol el límit següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$, prestant especial atenció a les operacions algebraiques a l'exponent:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

La figura mostra les tres primeres iteracions en la construcció de la corba de Koch. Si partim d'un segment inicial de longitud $L_0 = 1$ metre (panell A), en cada pas $n$ la longitud total de la corba es multiplica per $\frac{4}{3}$ respecte al pas anterior. Escriu l'expressió de la longitud $L_n$ en el pas $n$ i calcula $\lim_{n \to \infty} L_n$. Quina conclusió geomètrica s'extreu d'aquest resultat?

Calcula el límit de la successió següent, que presenta una doble arrel quadrada i requereix aplicar la tècnica del conjugat de forma acurada:

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

Un pacient rep una dosi diària d'un medicament. Després de l'absorció i eliminació al llarg del dia, la concentració del fàrmac en sang just abans de la dosi següent segueix la relació de recurrència $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, on $15 \text{ mg/L}$ és l'aportació de la nova dosi i el factor $0,4$ indica que queda un $40\%$ del fàrmac del dia anterior. Si la concentració inicial és $C_1 = 15$, calcula la concentració d'equilibri en la sang a llarg termini, és a dir, $\lim_{n \to \infty} C_n$.

Es defineix una successió mitjançant la llei de recurrència següent: el primer terme és $a_1 = \sqrt{6}$, i cada terme següent s'obté com a $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Assumint que la successió és creixent i està acotada superiorment (per la qual cosa és convergent i té un límit $L$), planteja l'equació que ha de complir el límit i troba'l.

Un cable elàstic d'alta tecnologia es sotmet a proves de tensió iteratives. La seva longitud inicial en repòs és de $20$ metres. En la primera prova s'estira $4$ metres. En cada prova successiva, el material perd elasticitat i s'estira un $75\%$ del que s'ha estirat en la prova immediatament anterior. La longitud total després de $n$ proves ve donada per $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0,75)^{k-1}$. Calcula la longitud màxima teòrica que assolirà el cable si es sotmet a infinites proves.

Per calcular el límit de la successió $a_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 2n$, dos estudiants discuteixen quina estratègia seguir. La Candela proposa una drecera: «Com que $7n$ creix molt més a poc a poc que $4n^2$, podem negligir-lo dins de l'arrel; així queda $\sqrt{4n^2} - 2n = 2n - 2n = 0$, per tant el límit és $0$». En Daniel sosté que això no és vàlid perquè es tracta d'una indeterminació $\infty - \infty$ i s'ha de multiplicar i dividir pel conjugat. Resol el límit aplicant el mètode rigorós d'en Daniel, explica per què la drecera de la Candela condueix a un resultat erroni i analitza què passaria si la successió fos $b_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 3n$: continua sent necessari el conjugat en aquest segon cas o hi ha una deducció directa basada en ordres de magnitud?

Donada la successió $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$: calcula en primer lloc $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ i demostra formalment aquest resultat aplicant la definició rigorosa de límit, deduint una fórmula que proporcioni el valor mínim de $N \in \mathbb{N}$ en funció de qualsevol marge $\varepsilon > 0$. Utilitza la teva fórmula per calcular $N$ quan $\varepsilon = 0,001$. Finalment, un company observa que per a $n = 100$ la distància entre termes consecutius ja és molt petita ($|a_{101} - a_{100}| < 0,001$) i dedueix que, per tant, $a_{100}$ ja ha de distar del seu límit menys de $0,001$. Comprova numèricament si la seva deducció és vertadera o falsa per a aquest terme i raona la diferència conceptual entre la proximitat de dos termes consecutius i la proximitat d'un terme al seu límit.