Límite de una sucesión
$\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$ Cada término es más pequeño que el anterior, y se acerca a $0$ tanto como quieras, aunque nunca llegue a valer exactamente $0$. Esa idea de "acercarse para siempre sin un límite de paciencia" es el concepto más importante de este curso: el límite de una sucesión. Con él vas a dar sentido riguroso a cosas que en 3º y 4º solo intuías, como la suma de infinitos términos o hacia qué valor se estabiliza una población.
La intuición: acercarse sin llegar
Observa $a_n = \dfrac{n+1}{n}$: $2, \ 1{,}5, \ 1{,}333\ldots, \ 1{,}25, \ 1{,}2, \ldots$ Los términos se acercan cada vez más a $1$, aunque ninguno vale exactamente $1$.
Cambia el término general y observa hacia qué valor (si lo hay) se acercan las barras al aumentar $n$:
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
La definición formal con $\varepsilon$
"Acercarse tanto como se quiera" se puede escribir con rigor: por muy pequeña que sea una distancia $\varepsilon>0$ que elijas, los términos tienen que acabar entrando y quedándose dentro de esa distancia de $L$.
A partir de una cierta posición $N$ (que depende de lo exigente que sea $\varepsilon$), todos los términos siguientes caen dentro de la franja $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ y ya no vuelven a salir.
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se…
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es estrictamente menor que una milésima, es decir, $|a_n - 4| < 0,001$.
Límites de sucesiones racionales
El caso más frecuente es una fracción de polinomios. El resultado depende de comparar el grado del numerador con el del denominador.
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión: $c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión:
$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador: $d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador:
$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días…
La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días desde la introducción de los alevines. Determina la capacidad de carga del entorno, es decir, el límite de la población de peces a largo plazo.
Indeterminaciones con radicales: $\infty - \infty$
Cuando aparece una resta de dos cantidades que tienden a infinito, multiplicar y dividir por el conjugado convierte la resta en una fracción.
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador: $h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador:
$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$
Convergente, divergente u oscilante
No todas las sucesiones tienen límite. Hay tres comportamientos posibles al hacer $n\to\infty$.
Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito: $b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito:
$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo…
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo transcurrido en minutos. Calcula el límite de la sucesión $T_n$ cuando $n \to \infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.