Exercicis: Inequacions lineals amb dues incògnites: sistemes

Representa gràficament la inequació $2x - 3y \le 6$. A continuació, indica dos punts les coordenades dels quals pertanyin a la regió solució i dos punts que no hi pertanyin.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Atès el sistema d'inequacions lineals $x + y < 5$ i $2x - y \ge 0$, determina quins dels punts següents són solució del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ i $D(4, 0)$.

Representa gràficament el sistema format per les inequacions $x + 2y \ge 4$ i $x - y \le 1$, ombrejant de forma clara la regió factible resultant.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la regió ombrejada a la figura, determina la inequació lineal amb dues incògnites que la defineix. Tingues en compte que la recta límit passa pels punts $(0, 2)$ i $(3, 0)$ i que la regió inclou l'origen de coordenades.

Troba algebraicament les coordenades dels vèrtexs de la regió factible definida pel sistema d'inequacions següent: $x \ge 0$, $y \ge 0$ i $x + y \le 4$.

Representa la regió del pla que compleix simultàniament les restriccions següents: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ i $y \le 3$.

Comprova de forma analítica si el punt $P(1, 2)$ pertany a la regió definida pel sistema d'inequacions: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ i $3x + 2y \ge 1$.

Representa el conjunt de solucions del sistema format per les inequacions $x + y \ge 2$ i $x + y \le 5$. Descriu quin tipus de regió geomètrica s'obté.

Per resoldre gràficament la inequació $x - 2y > 0$, Mateo fa el procediment següent a la seva llibreta:

1r Dibuixa la recta frontera $x - 2y = 0$ amb traç continu.

2n Com a punt de prova per esbrinar quin semiplà ratllar, tria l'origen de coordenades $(0,0)$.

3r Substitueix en la inequació: $0 - 2 \cdot 0 > 0 \implies 0 > 0$, i raona: «Com que la desigualtat és falsa, l'origen no és solució; per tant, la solució és el semiplà on no hi ha l'origen, i incloc la recta frontera perquè és la que separa ambdues regions».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès Mateo (un respecte a la tria del punt de prova i l'altre respecte al tipus de traç de la recta frontera).
2. b) Corregeix l'exercici: indica quin tipus de traç correspon a la frontera, tria un punt de prova adequat que no pertanyi a la recta (justificant la teva tria) i determina amb claredat quin semiplà és la solució.

Considera el següent sistema d'inequacions lineals:

1. a) Estima: Sense dibuixar els eixos ni fer càlculs per escrit, observa les expressions algebraiques i intueix raonadament si els punts $P(2, 3)$ i $Q(4, 3)$ pertanyeran a la regió factible. Justifica la teva predicció estimant mentalment les sumes $x+y$ i $2x+y$ de cada punt enfront dels valors límit $6$ i $4$.
2. b) Comprova: Substitueix formalment les coordenades de $P$ i de $Q$ en cadascuna de les inequacions del sistema per verificar si la teva estimació era correcta.
3. c) Valora: Representa gràficament la regió factible i confirma de manera visual que la posició de $P$ i $Q$ concorda amb el que havies deduït.

Una pastisseria elabora dos tipus de pastissos, T1 i T2. El pastís T1 requereix $2$ hores de preparació i $1$ hora d'enfornada, mentre que el pastís T2 requereix $1$ hora de preparació i $2$ hores d'enfornada. Es disposa d'un màxim de $10$ hores de preparació i $8$ hores d'enfornada al dia. Planteja el sistema d'inequacions que modelitza aquesta situació (considerant que les quantitats no poden ser negatives) i representa gràficament la regió de possibles produccions diàries.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un agricultor disposa de $50$ hectàrees per plantar blat i ordi. La llavor de blat costa $20$ euros per hectàrea i la d'ordi $30$ euros per hectàrea. El pressupost màxim per a llavors és de $1200$ euros. A més, per normatives mediambientals, la superfície d'ordi no pot superar el doble de la superfície de blat. Escriu el sistema d'inequacions associat i troba els vèrtexs de la regió factible.

La figura mostra una regió poligonal en el pla cartesià que representa les combinacions viables de producció de dos components electrònics. Determina el sistema d'inequacions que defineix aquesta regió, sabent que els seus vèrtexs són $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ i $D(2, 3)$.

Per transportar $60$ tones de mercaderia, una empresa de logística compta amb camions grans amb capacitat per a $8$ tones i camions petits amb capacitat per a $5$ tones. Per restriccions de personal, no es poden enviar més de $10$ vehicles en total. Planteja el sistema d'inequacions que determina el nombre de camions de cada tipus que es poden utilitzar i troba analíticament els vèrtexs de la regió solució.

Representa gràficament el sistema d'inequacions $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ i $y \ge 0$. Calcula les coordenades exactes dels vèrtexs de la regió resultant.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un entrenador personal planifica una rutina amb exercicis de força ($x$) i exercicis de càrdio ($y$). El temps total d'entrenament ha d'estar entre $40$ i $60$ minuts. Cada exercici de força dura $5$ minuts i cadascun de càrdio $10$ minuts. A més, el nombre d'exercicis de força ha de ser com a mínim igual al nombre d'exercicis de càrdio. Planteja el sistema d'inequacions i representa'l gràficament.

Una empresa de lloguer de vehicles disposa de cotxes i furgonetes. El manteniment diari d'un cotxe costa $10$ euros i el d'una furgoneta $20$ euros. El pressupost diari per al manteniment no supera els $300$ euros. L'aparcament té una capacitat màxima per a $20$ vehicles. Determina la regió factible i troba el nombre màxim de furgonetes que es poden mantenir si es tenen exactament $5$ cotxes.

Calcula l'àrea de la regió del pla definida pel següent sistema d'inequacions: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ i $y \le 4$.

En un plànol d'ordenació urbana s'ha delimitat una zona verda triangular els vèrtexs exactes de la qual són $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(2, 5)$.

1. a) Obtén l'equació general o implícita ($ax + by = c$) de cadascuna de les tres rectes que contenen els costats del triangle (costats $AB$, $AC$ i $BC$).
2. b) Escriu un sistema de tres inequacions lineals amb dues incògnites la regió factible del qual coincideixi exactament amb l'interior i els costats d'aquest triangle.
3. c) Justifica com has decidit el sentit de cada desigualtat ($\le$ o $\ge$) comprovant que les coordenades d'un punt interior evident (com el punt $(2, 2)$) satisfan simultàniament les tres inequacions plantejades.

Un poliesportiu municipal organitza setmanalment sessions de natació adaptada ($x$, en hores) i pilates per a gent gran ($y$, en hores). L'ajuntament fixa les condicions de gestió següents:

• Entre totes dues activitats no es poden superar les $30$ hores setmanals en total.

• Per atendre la demanda mínima del col·lectiu de gent gran, s'han de programar almenys $8$ hores setmanals de pilates.

• La piscina reservada només està disponible un màxim de $18$ hores setmanals per a natació adaptada.

• Per criteri pedagògic, el nombre d'hores de pilates ha de ser, com a mínim, la meitat del nombre d'hores dedicades a natació adaptada.

1. a) Planteja el sistema d'inequacions lineals que modelitza totes les restriccions (incloses les de no-negativitat) i interpreta el significat de cada inequació.
2. b) Representa gràficament la regió factible i troba les coordenades de tots els seus vèrtexs.
3. c) Una associació proposa programar $18$ hores de natació i $8$ hores de pilates. Comprova si aquesta combinació és viable; si no ho és, explica quina condició incompleix i quin és l'increment mínim en les hores de pilates necessari per fer-la viable mantenint les $18$ hores de natació.

Una refinaria produeix dos tipus d'aliatges, A i B. Per a l'aliatge A es necessiten $3$ kg de coure, $1$ kg de zinc i $2$ kg d'estany per unitat. Per a l'aliatge B, $1$ kg de coure, $2$ kg de zinc i $3$ kg d'estany. Al magatzem es disposa d'un màxim de $300$ kg de coure, $200$ kg de zinc i $240$ kg d'estany. Planteja el sistema d'inequacions que descriu les possibles produccions de tots dos aliatges, representa la regió factible i calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs.

Considera la regió del pla definida per les inequacions $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ i $x - y \ge -2$. Demostra algebraicament que es tracta d'una regió fitada i determina les coordenades dels vèrtexs que té aquesta regió.

Per a l'organització d'un concert es venen entrades VIP ($x$) i entrades estàndard ($y$). L'aforament màxim del recinte és de $5000$ persones. Per motius de seguretat i rendibilitat, el nombre d'entrades estàndard no pot superar el triple de les entrades VIP. A més, els organitzadors exigeixen que es meguin almenys $1000$ entrades VIP. Escriu el sistema d'inequacions, troba els vèrtexs de la regió factible i determina algebraicament si és possible vendre exactament $1500$ entrades VIP i $4000$ estàndard.

Es dona el sistema d'inequacions $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ i $y \ge k$. Discuteix, en funció del paràmetre $k$, el nombre de vèrtexs que té la regió factible. Per a quins valors de $k$ la regió factible es redueix al conjunt buit?

Un nutricionista dissenya una dieta basada en dos aliments, X i Y. Cada porció de l'aliment X aporta $20$ g de proteïnes, $10$ g de greixos i $40$ g de carbohidrats. Cada porció de Y aporta $15$ g de proteïnes, $20$ g de greixos i $30$ g de carbohidrats. La dieta ha d'aportar almenys $120$ g de proteïnes, no més de $100$ g de greixos i exactament $240$ g de carbohidrats. Planteja el sistema d'inequacions i equacions associat. Es tracta d'una regió bidimensional o d'un segment? Justifica la teva resposta i troba els extrems del conjunt solució.

La imatge mostra una regió factible en forma de quadrilàter, que modelitza les limitacions d'un projecte d'enginyeria de programari (hores de programació a l'eix $X$ vs. hores de testatge a l'eix $Y$). Els vèrtexs són $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ i $S(3, 0)$. Determina el sistema d'inequacions que defineix exactament aquesta regió.

Una fàbrica de mobles produeix cadires i taules. Cada cadira requereix $2$ hores de tall i $1$ hora d'assemblatge. Cada taula requereix $1$ hora de tall i $3$ hores d'assemblatge. Els treballadors poden dedicar un màxim de $40$ hores setmanals al tall i $60$ hores a l'assemblatge. A més, per un contracte previ, s'han de fabricar almenys $5$ taules setmanals i el nombre de cadires no pot ser inferior al nombre de taules. Planteja el sistema d'inequacions, representa'l i troba tots els vèrtexs de la regió factible.

Atès el sistema d'inequacions $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ i $y \ge 0$. Analitza com canvia l'àrea de la regió factible si la primera restricció es modifica a $2x + 3y \le 12 + k$, amb $k > 0$. Expressa l'àrea de la nova regió en funció de $k$, assumint que la forma geomètrica del polígon resultant es manté com un triangle.

Es vol determinar si hi ha alguna solució per al següent sistema d'inequacions:

Per resoldre'l, tres estudiants proposen camins diferents:

• Camí A (Geomètric): Dibuixar amb precisió les quatre rectes frontera, ombrejar cada semiplà amb punts de prova i buscar la regió comuna.

• Camí B (Algebric directe): Multiplicar la primera inequació per $2$ i sumar-la membre a membre amb la segona per analitzar la desigualtat resultant.

• Camí C (Càlcul de vèrtexs): Resoldre els sistemes d'equacions lineals $2 \times 2$ igualant les rectes dues a dues per trobar els vèrtexs de la regió factible.

1. a) Aplica el Camí B i explica quina conclusió immediata i indiscutible permet extreure sobre la regió factible.
2. b) Compara críticament els tres camins: argumenta per què el Camí B és el més eficaç i explica la pèrdua de temps o dificultat innecessària que tindrien els qui apliquin el Camí A o el Camí C (analitza la posició relativa de les rectes frontera).
3. c) Justifica en quin tipus de problemes de sistemes d'inequacions sí que resultaria imprescindible aplicar el Camí A o el Camí C en lloc del Camí B.

Considera el sistema d'inequacions lineals dependent d'un paràmetre real $k$:

1. a) Per a $k = 1$, representa gràficament la regió factible, calcula les coordenades exactes de tots els seus vèrtexs i classifica el polígon obtingut segons el seu nombre de costats.
2. b) Analitza el paper del paràmetre: determina de manera raonada per a quins valors de $k \le 0$ la inequació $x + y \le 6$ resulta redundant (és a dir, qualsevol punt del primer quadrant que satisfaci $y - kx \le 2$ compleix ja automàticament que $x + y \le 6$, de manera que la regió factible passa a ser un triangle que no depèn de la recta $x + y = 6$).
3. c) Hi ha algun valor real de $k$ per al qual la regió factible sigui el conjunt buit o es redueixi a un únic punt? Justifica la teva resposta analitzant la pertinença de l'origen $(0,0)$ i el comportament de les desigualtats en un entorn d'aquest punt.

Repte del tema. Auditoria energètica i de confort a la teva llar.

1. Dades reals: Consulta al web d'AEMET la temperatura ($T$) i velocitat del vent ($v$) de la teva localitat, i a Red Eléctrica de España (REE) el preu horari del kWh.

2. Modelització univariable: Modela el confort tèrmic admissible amb una inequació de valor absolut, $|T - 21| \le 2,5$, i la sensació enfront del vent mitjançant una inequació amb arrel: $\sqrt{v} + T \ge 18$. A continuació, formula una inequació de segon grau que acoti les hores de consum crític i una inequació racional, com ara $\frac{P(t)}{t - 1} \le 1,4$, per controlar el cost mitjà unitari. Resol-les analíticament.

3. Regió factible amb GeoGebra: Siguin $x$ i $y$ les hores d'ús de dos electrodomèstics d'alt consum. Planteja un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites segons la potència de cada aparell, un límit d'energia diària (kWh) i el teu pressupost diari. Obtén i ombreja la regió factible.

4. Proposta raonada: Redacta un breu informe justificant les franges horàries òptimes a partir dels intervals i vèrtexs calculats.

Es valorarà:

• Rigor algebraic en la resolució d'inequacions racionals, amb arrels, quadràtiques i de valor absolut.

• Precisió gràfica a GeoGebra en delimitar la regió factible del sistema lineal.

• Justificació coherent de la proposta final a partir de les dades reals recollides.