Exercicis: Recta de regressió de y sobre x

Coneguts els paràmetres estadístics d'una distribució bidimensional: mitjana de $X$ igual a $4$, mitjana de $Y$ igual a $6$, variància de $X$ igual a $1,5$ i covariància igual a $3$. Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

En un estudi sobre la relació entre la quantitat de fertilitzant aplicat ($X$, en kg/ha) i la producció obtinguda ($Y$, en tones/ha), s'ha calculat la recta de regressió de $Y$ sobre $X$, que resulta ser $y = 0,4x + 2,1$. Estima la producció que s'obtindrà si s'apliquen $15$ kg/ha de fertilitzant.

Donada la taula següent amb tres parells de valors d'una distribució bidimensional:

• $X$: $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$

Calcula el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ d'una distribució bidimensional és $y = 1,2x - 0,5$. Si sabem que la mitjana marginal de la variable $X$ és $\bar{x} = 3$, quin és el valor exacte de la mitjana marginal $\bar{y}$?

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre els anys d'experiència d'un grup de tècnics i el seu salari mensual en centenars d'euros, juntament amb la recta de regressió de $Y$ sobre $X$. A partir de la representació gràfica, estima visualment el salari esperat per a un tècnic amb $6$ anys d'experiència i determina l'ordenada en l'origen de la recta.

En una distribució bidimensional es sap que les desviacions típiques són $\sigma_x = 2$ i $\sigma_y = 5$, i el coeficient de correlació lineal és $r = -0,8$. Calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ sabent que el centre de gravetat de la distribució és el punt $(10, 20)$.

Les variables $X$ i $Y$ representen, respectivament, el nombre d'hores d'entrenament setmanal i el temps en segons a recórrer $100$ metres llisos d'un grup d'atletes. Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = -0,5x + 14$, interpreta el significat físic del pendent d'aquesta recta en el context del problema.

Una distribució bidimensional té per matriu de dades els sumatoris següents: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, i el nombre total d'observacions és $N = 10$. Calcula la covariància i la variància de $X$, i escriu l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

En Marcos ha obtingut els paràmetres estadístics següents en estudiar la relació entre les hores setmanals d'estudi de Matemàtiques ($X$) i la qualificació obtinguda en la matèria ($Y$, de $0$ a $10$) en el seu grup d'1r de Batxillerat: $\bar{x} = 6$, $\bar{y} = 6,5$, $\sigma_x^2 = 4$, $\sigma_y^2 = 2,25$ i covariància $\sigma_{xy} = 2,4$. Per predir quina nota obtindrà un alumne que estudia $8$ hores ($x = 8$), en Marcos escriu al seu quadern:

Substitueix $x = 8$ i conclou que la nota estimada serà de $7,6$.

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos en formular l'equació de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ i explica per què són incorrectes.
2. b) Escriu l'equació corregida de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ i calcula la qualificació que realment prediu el model per a $x = 8$.

Una delegació territorial de l'AEMET estudia la relació entre l'altitud ($X$, en centenars de metres) i la temperatura mitjana anual ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en cinc observatoris del Sistema Central:

• Observatori 1: $(4; 14,3)$

• Observatori 2: $(6; 13,3)$

• Observatori 3: $(8; 12,0)$

• Observatori 4: $(10; 10,9)$

• Observatori 5: $(12; 9,5)$

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima de manera raonada el signe que han de tenir la covariància i el pendent de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$. Estima també aproximadament quants graus descendeix la temperatura per cada $100\text{ m}$ d'ascens.
2. b) Comprova la teva estimació calculant les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$, la variància $\sigma_x^2$ i la covariància $\sigma_{xy}$, i determina l'equació exacta de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$.
3. c) Utilitza la recta per predir la temperatura esperada a $900\text{ m}$ ($x = 9$) i a $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Valora si totes dues prediccions són raonables diferenciant entre interpolació i extrapolació.

Una empresa de màrqueting digital ha recopilat dades sobre la inversió en campanyes de xarxes socials ($X$, en milers d'euros) i els ingressos generats per vendes ($Y$, en desenes de milers d'euros) durant $5$ mesos consecutius:

• $X$: $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$: $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Calcula la recta de regressió dels ingressos en funció de la inversió i estima els ingressos esperats si s'inverteixen $5000$ euros.

En un estudi de biomecànica, s'analitza la relació entre la longitud del fèmur ($X$, en cm) i l'alçada d'un individu ($Y$, en cm). Es disposa dels resums estadístics següents per a una mostra de $50$ persones:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Troba la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i estima l'alçada d'una persona el fèmur de la qual mesura $48$ cm. Justifica breument la fiabilitat d'aquesta estimació.

Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional vénen donades per les equacions $y = 0,5x + 4$ i $x = 1,6y - 2$. Determina les coordenades del centre de gravetat de la distribució i el coeficient de correlació lineal $r$, indicant-ne el signe raonadament.

En un experiment de termodinàmica es mesura la temperatura d'un líquid ($Y$, en ºC) en funció del temps transcorregut ($X$, en minuts). La recta de regressió obtinguda és $y = -1,5x + 85$. Sabent que el coeficient de determinació és $R^2 = 0,95$ i que l'experiment va tenir una durada total de $30$ minuts, és fiable estimar la temperatura als $45$ minuts usant aquesta recta? Justifica la teva resposta basant-te en els conceptes d'interpolació i extrapolació.

S'ha estudiat la relació entre la quantitat d'impureses en un aliatge metàl·lic ($X$, en $\%$ ) i la seva resistència a la tracció ($Y$, en MPa). Després d'analitzar $20$ mostres, es va obtenir $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, i una recta de regressió de $Y$ sobre $X$ donada per $y = -15x + 481,5$. Calcula la covariància de la distribució si es sap que la variància de les impureses és $\sigma_x^2 = 0,8$.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre la profunditat a la qual es troba una veta de mineral ($X$, en metres) i el cost d'extracció per tona ($Y$, en milers d'euros). La recta traçada és la de regressió de $Y$ sobre $X$. A partir del gràfic, obtén les coordenades dels dos punts marcats sobre la recta, calcula la seva equació exacta i estima el cost d'extracció per a una profunditat de $120$ metres.

La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ d'una distribució bivariant és $y = 3x - 2$. Si a tots els valors observats de la variable $X$ se li sumen $4$ unitats i tots els valors de la variable $Y$ es multipliquen per $2$, quina serà la nova equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$?

En un centre meteorològic es relaciona la pressió atmosfèrica ($X$, en hPa) amb la probabilitat de precipitació ($Y$, en $\%$). Sabent que el centre de gravetat de la distribució és el punt $(1013, 40)$, la desviació típica de la pressió és $5$ hPa, la de la probabilitat és $20\%$, i el coeficient de correlació lineal és $-0,85$, troba l'equació de la recta de regressió que permet estimar la probabilitat de pluja coneixent la pressió atmosfèrica.

A partir de les microdades de l'Enquesta de Pressupostos Familiars de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), s'extreu una mostra de $5$ llars per analitzar la despesa mensual en alimentació ($Y$, en centenars d'euros) en funció dels ingressos nets mensuals de la llar ($X$, en milers d'euros):

• Llar A: $(1,5; 3,0)$

• Llar B: $(2,0; 3,8)$

• Llar C: $(2,5; 4,5)$

• Llar D: $(3,0; 5,1)$

• Llar E: $(3,5; 6,1)$

1. a) Modela la relació lineal entre ambdues variables calculant la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ (detalla el càlcul de $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$ i $\sigma_{xy}$).
2. b) Interpreta el significat socioeconòmic del pendent $m_{yx} = 1,5$ i de l'ordenada a l'origen $n = 0,75$ en el context real, prestant una atenció especial a les unitats de mesura de cada variable.
3. c) Estima la despesa en alimentació per a una llar amb ingressos de $2800$ euros mensuals i per a una altra amb ingressos de $8500$ euros mensuals. Justifica quina de les dues estimacions ofereix una major garantia estadística basant-te en el rang de les dades observades.

En una investigació sobre convivència escolar a 1r de Batxillerat, s'analitza el nombre de faltes injustificades d'assistència ($X$) i la qualificació en l'avaluació final ($Y$) d'una mostra d'alumnes. S'obtenen els estadístics següents: $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 6$, $\sigma_x^2 = 5$, $\sigma_y^2 = 3,2$ i $\sigma_{xy} = -3,6$.

Es plantegen dues tasques de predicció:

• Tasca 1: Estimar la qualificació esperada ($Y$) per a un alumne amb $x = 6$ faltes.

• Tasca 2: Estimar el nombre probable de faltes ($X$) que haurà tingut un alumne la nota final del qual ha estat $y = 3,3$.

Per resoldre la Tasca 2, dos professors proposen mètodes diferents:

• El professor A calcula la recta d'$Y$ sobre $X$, substitueix $y = 3,3$ i aïlla algebraicament el valor d'$x$.

• El professor B sosté que aïllar és incorrecte i que s'ha de trobar la recta d'$X$ sobre $Y$ per substituir directament $y = 3,3$.

1. a) Justifica quin dels dos mètodes és estadísticament rigorós atenent al criteri de mínims quadrats que defineix les rectes de regressió.
2. b) Troba les equacions de totes dues rectes de regressió ($Y$ sobre $X$, i $X$ sobre $Y$).
3. c) Aplica els dos mètodes per a la Tasca 2, compara els resultats numèrics obtinguts i explica a què es deu la discrepància entre tots dos utilitzant el coeficient de determinació lineal $r^2$.

Demostra analíticament que si les variables $X$ i $Y$ tenen una correlació lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), aleshores la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ coincideix exactament amb la recta de regressió de $X$ sobre $Y$. Explica breument quina implicació geomètrica té això sobre l'angle que formen totes dues rectes en el pla.

En un estudi sobre el rendiment de panells solars, la variable $X$ representa la irradiància solar ($W/m^2$) i la variable $Y$ la potència elèctrica generada ($W$). Se sap que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ ve donada per $y = 0,18x + 5$, i la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ per $x = 5y - 10$. Calcula les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$, i troba el percentatge exacte de la variabilitat de la potència elèctrica que queda explicada per la irradiància solar.

Es disposa d'un conjunt de dades bivariants $(x_i, y_i)$ on la variable $X$ pren els valors $1, 2, 3, 4$ i la variable $Y$ pren els valors $2, k, 5, 8$. Sabent que el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $m_{yx} = 1,9$, planteja una equació i determina el valor exacte del paràmetre $k$.

En una anàlisi macroeconòmica, es relaciona la taxa d'inflació ($X$, en $\%$ ) amb la taxa d'atur ($Y$, en $\%$). La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = -0,6x + 8$. Si la variància marginal de la inflació és $\sigma_x^2 = 4$ i la variància marginal de l'atur és $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficient de correlació lineal $r$ i el percentatge de la variabilitat de l'atur que queda explicada pel model de regressió lineal.

Un enginyer civil estudia la relació entre la càrrega suportada per una biga ($X$, en tones) i la seva deformació màxima ($Y$, en mil·límetres). S'han perdut algunes dades de l'informe original, però se sap que la mitjana de la càrrega és $\bar{x} = 15$, la variància de la càrrega és $\sigma_x^2 = 16$, la covariància és $\sigma_{xy} = 18$, el coeficient de correlació és $r = 0,9$ i l'ordenada a l'origen de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $b = 2$. Calcula la mitjana de la deformació $\bar{y}$, la desviació típica $\sigma_y$ i l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

El gràfic següent mostra un núvol de punts que relaciona la velocitat d'un vehicle ($X$, en km/h) amb la distància de frenada ($Y$, en metres). S'han traçat les dues rectes de regressió: la Recta A (en blau) i la Recta B (en verd). Identifica raonadament, basant-te en les propietats dels pendents, quina de les dues rectes és la de regressió de $Y$ sobre $X$ i troba la seva equació sabent que totes dues es tallen en el punt $(80, 40)$ i que la blava passa per $(100, 56)$.

En una investigació farmacèutica, es modelitza la concentració d'un principi actiu en sang ($Y$, en mg/L) en funció de la dosi administrada ($X$, en mg). Si fem un canvi de variable estandarditzant totes dues variables, és a dir, definim $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ i $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demostra algebraicament que la recta de regressió de $Z_y$ sobre $Z_x$ passa per l'origen de coordenades i que el seu pendent és exactament el coeficient de correlació lineal $r$.

S'ha estudiat una distribució bidimensional de $100$ parells de valors. Se sap que la suma dels quadrats dels residus (la suma de les diferències al quadrat entre els valors reals observats $y_i$ i els estimats per la recta $\hat{y}_i$) és igual a $150$. Si la variància marginal de la variable $Y$ és $\sigma_y^2 = 4$, troba el coeficient de determinació $R^2$ utilitzant la relació $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, i calcula el valor absolut del pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ sabent que la variància marginal de $X$ és $\sigma_x^2 = 9$.

Un laboratori universitari analitza la relació entre dues variables físiques contínues, $X$ i $Y$, i obté les equacions generals de les seves dues rectes de regressió lineal per mínims quadrats. Per una errada d'etiquetatge en el programari, no es va guardar quina recta correspon a cada regressió:

• Recta 1 ($r_1$): $2x - 5y + 11 = 0$

• Recta 2 ($r_2$): $8x - 5y - 7 = 0$

1. a) Dedueix de manera raonada quina de les dues és la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ i quina és la d'$X$ sobre $Y$. Per fer-ho, analitza les dues assignacions possibles i demostra analíticament que una d'elles és matemàticament impossible basant-te en la propietat del producte dels seus pendents $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$ i en el rang admissible del coeficient de correlació lineal.
2. b) Troba les coordenades exactes del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució bidimensional i calcula el coeficient de correlació lineal $r$.
3. c) Sabent a més que la desviació típica d'$X$ és $\sigma_x = 2,5$, reconstrueix analíticament el valor de la covariància $\sigma_{xy}$ i de la variància $\sigma_y^2$.

Un analista esportiu d'un club de futbol analitza la relació entre els quilòmetres recorreguts a alta intensitat per partit ($X$, en km) i les recuperacions de pilota en camp rival ($Y$) dels jugadors. Després d'introduir les dades en un programa, presenta un informe amb els resultats següents:

• Recta de regressió d'$Y$ sobre $X$: $y = 0,8x - 1,2$

• Recta de regressió d'$X$ sobre $Y$: $x = 1,5y + 2,1$

L'informe conté tres afirmacions fetes per l'analista:

1. «Com que tots dos pendents són positius, hi ha una correlació lineal positiva i molt intensa entre totes dues variables».

2. «Per estimar la distància que hauria de córrer un jugador per aconseguir $y = 5$ recuperacions, n'hi ha prou amb aïllar la variable $x$ de la primera recta, cosa que resulta en $x = 7,75\text{ km}$».

3. «Si canviem la unitat de mesura de la distància $X$ de quilòmetres a metres ($X' = 1000X$), tant la covariància $\sigma_{x'y}$ com el pendent $m_{yx}'$ de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ quedaran multiplicats per $1000$».

Avalua críticament l'informe:

1. a) Demostra analíticament que les dues equacions proporcionades contenen una contradicció estadística insalvable que invalida el model.
2. b) Explica l'error de fonamentació que comet l'analista en l'afirmació 2.
3. c) Analitza algebraicament l'afirmació 3 a partir de les definicions de covariància i variància: dedueix com varien en realitat $\sigma_{x'y}$ i el pendent $m_{yx}'$ davant del canvi d'escala $X' = k\cdot X$ i dictamina si l'afirmació és vertadera o falsa.