Recta de regresión de y sobre x
Cuando la nube de puntos muestra una tendencia lineal, tiene sentido resumirla con una recta que permita predecir. Pero hay dos rectas posibles —predecir $Y$ a partir de $X$, o $X$ a partir de $Y$— y en general son distintas. Entender por qué, y cuándo confiar en una predicción, es el objetivo de este apartado.
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$
Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza…
Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el…
Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Las dos rectas y su relación con $r$
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de…
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.
En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es…
En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.
Cuando $|r|=1$, las dos rectas coinciden: demostración
Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$…
Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.
En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si…
En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.
Predecir con prudencia: interpolación y extrapolación
En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida…
En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1,5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.
En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes…
En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes resúmenes estadísticos para una muestra de $50$ personas:
$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.
Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima la altura de una persona cuyo fémur mide $48$ cm. Justifica brevemente la fiabilidad de esta estimación.