Problemas
Ya conoces cada pieza por separado: covarianza, $r$, las dos rectas de regresión. Los problemas de examen casi nunca dan directamente lo que necesitas; dan trozos distintos (dos rectas, o $r$ y una varianza, o solo sumatorios) y hay que combinar las fórmulas en el orden correcto. Este apartado es ese entrenamiento.
El mapa de fórmulas y cómo recorrerlo
Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión: Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$ Recta de…
Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión:
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$
Calcula las coordenadas del centro de gravedad de la distribución bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$…
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).
Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y halla las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
Reconstruir datos a partir de sumatorios
Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales…
Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales ($X$, en miles). Se han recopilado los datos de $8$ lanzamientos anteriores, obteniéndose los siguientes sumatorios:
$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.
Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación lineal y estima las ventas que se obtendrán si se registran $25$ mil menciones en el día del lanzamiento.
Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$:…
Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ y $(5, 110)$. Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional.
Cambios de variable y transformaciones afines
En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma…
En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ y $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sabe que la recta de regresión de $V$ sobre $U$ es $v = 0,8u + 1,5$.
Encuentra, deshaciendo el cambio de variable, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en su forma explícita $y = mx + n$.
El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en euros) y el gasto en ocio ($Y$, en euros) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos…
El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en euros) y el gasto en ocio ($Y$, en euros) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos expresar los ingresos en miles de euros ($X' = \frac{X}{1000}$) y el gasto en ocio incrementarlo en una cantidad fija de $50$ euros debido a una subvención ($Y' = Y + 50$), ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación lineal entre $X'$ e $Y'$? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de la covarianza y las desviaciones típicas.
Covarianza conjunta de dos grupos
Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$). En…
Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$).
En el Grupo A, formado por $10$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, y una covarianza $S_{xy,A} = 200$.
En el Grupo B, formado por $20$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, y una covarianza $S_{xy,B} = 350$.
Calcula la covarianza total $S_{xy}$ si decidiéramos agrupar a los $30$ empleados en una única distribución bidimensional.
De una muestra a una decisión: trayectos al instituto
La pregunta es: «¿Necesitamos organizar una recogida de datos más amplia antes de proponer rutas a pie?». La población son los estudiantes del centro; cada estudiante es una unidad. Las variables son distancia al centro (km) y tiempo de trayecto (min). Seleccionar solo a quienes llegan primero o responden voluntariamente puede sesgar los resultados.
Para una investigación real, seleccionad al azar estudiantes de todos los niveles, registrad también cuántos no responden y trabajad sin nombres ni direcciones. La muestra debe permitir describir la población buscada: cinco personas no bastan para justificar una medida para todo el centro. Practicaremos con estos datos ficticios, no con una encuesta real:
| Distancia (km) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (min) | 12 | 13 | 15 | 14 | 16 |
Decisión razonada: estos datos sirven para ensayar el análisis; antes de proponer rutas necesitamos una muestra mayor y datos sobre el medio de transporte y la seguridad de los recorridos. Entregad una tabla, un gráfico, los parámetros con unidades y una conclusión que indique a quién se refiere y qué no puede concluirse. Comparad la conclusión si la muestra incluyera solo usuarios de autobús.
Comprueba en el gráfico cómo los datos quedan a ambos lados de la recta ajustada (ejes recortados):
Trabajar en equipo y revisar el error
En grupos, rotad las funciones de selección de muestra, cálculo, revisión y comunicación. Antes de ver resultados, cada persona escribe su predicción. Si dos cálculos discrepan, reproducid juntos una fila y comprobad unidades y denominadores; criticad el procedimiento, no a la persona. Ante un bloqueo, anotad qué parte entendéis, dividid la tarea y pedid una pista concreta. Al terminar, cada integrante registra un error corregido, la estrategia que le ayudó y una aportación de otro compañero que cambió su conclusión. La revisión y la perseverancia forman parte del trabajo matemático.