Exercicis: Problemes

S'ha mesurat el temps en hores ($X$) i la distància meitat/recorreguda en km ($Y$) per un ciclista en $5$ etapes, obtenint els següents parells de valors $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ i $(5, 110)$. Calcula la covariància d'aquesta distribució bidimensional.

La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ d'una distribució bidimensional ve donada per l'equació $y = 3,2x - 1,5$. Si la mitjana aritmètica de la variable $X$ és $\bar{x} = 4,5$, determina el valor de la mitjana aritmètica de la variable $Y$, $\bar{y}$.

En un estudi sobre el pes ($X$, en kg) i l'alçada ($Y$, en cm) d'un grup d'estudiants, s'ha obtingut un coeficient de correlació lineal $r = 0,85$. Si les desviacions típiques marginals són $S_x = 12$ i $S_y = 8$, calcula el valor exacte de la covariància $S_{xy}$.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre l'edat d'un grup de vehicles ($X$, en anys) i el seu valor de mercat en l'actualitat ($Y$, en milers d'euros). Observant la forma del núvol de punts, indica el signe que tindrà la covariància i si la correlació lineal entre totes dues variables és forta o feble.

Per estimar el consum elèctric mensual ($Y$, en kWh) en funció del nombre de persones que habiten en un habitatge ($X$), s'ha obtingut la recta de regressió $y = 45x + 120$ amb un coeficient de correlació $r = 0,92$. Estima el consum per a un habitatge amb $4$ persones i indica si l'estimació és molt fiable o poc fiable, justificant breument la teva resposta.

En la taula de contingència següent es recullen les dades de $100$ peces ceràmiques, classificades segons la seva mida ($X$: Petita=$1$, Gran=$2$) i la seva qualitat ($Y$: Defectuosa=$0$, Òptima=$1$). Escriu la taula de la distribució marginal de la variable $Y$ i calcula la seva mitjana $\bar{y}$.

D'una distribució bidimensional es coneixen els paràmetres estadístics següents: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la variància marginal de $X$, $S_x^2 = 16$, i la covariància $S_{xy} = 24$. Escriu l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

En un estudi que relaciona el pressupost en màrqueting de diverses empreses ($X$) amb els seus beneficis anuals ($Y$), s'ha calculat que el coeficient de correlació lineal és $r = 0,7$. Quin percentatge de la variabilitat dels beneficis queda explicada pel pressupost en màrqueting segons el model de regressió lineal proposat?

En un examen d'Estadística bidimensional, en Marcos ha d'analitzar la relació entre dues variables a partir de les equacions de les seves rectes de regressió:

• Recta de regressió d'$Y$ sobre $X$: $y = -0,75x + 12$

• Recta de regressió de $X$ sobre $Y$: $x = -0,48y + 10$

En Marcos escriu en la seva resolució:

1. «El coeficient de correlació lineal és $r = \sqrt{(-0,75) \cdot (-0,48)} = \sqrt{0,36} = 0,6$, per la qual cosa la correlació entre les variables és positiva i moderada.»

2. «La covariància de la distribució és directament el pendent de la primera recta, és a dir, $\sigma_{xy} = -0,75$.»

Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per en Marcos, calculant el valor correcte d'$r$. Raona a més si és possible o no esbrinar el valor numèric de $\sigma_{xy}$ disposant únicament de les equacions de les rectes.

Una estació d'esquí del Pirineu aragonès registra l'altitud en centenars de metres ($X$) i la temperatura mitjana en $^{\circ}\text{C}$ durant una jornada d'hivern ($Y$) en cinc punts del seu domini esquiable:

1. a) Abans d'efectuar cap càlcul analític, estima raonadament el signe de la covariància i del coeficient de correlació lineal $r$, indicant si esperes una relació lineal feble o forta a partir de la naturalesa del fenomen físic.
2. b) Calcula les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$, la covariància $\sigma_{xy}$, les desviacions típiques $\sigma_x$ i $\sigma_y$, i el valor exacte d'$r$.
3. c) Comprova si el valor d'$r$ obtingut confirma la teva estimació inicial i valora si un ajust lineal és adequat per predir temperatures a altres cotes de la muntanya.

En un laboratori de física s'ha mesurat l'allargament d'una molla elàstica ($Y$, en cm) en penjar-hi diferents masses ($X$, en kg). Els resultats obtinguts en l'experiment són:

$X$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$: $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

Una empresa de tecnologia vol predir el nombre de vendes d'un nou telèfon intel·ligent ($Y$, en milers d'unitats) en funció de les mencions diàries en xarxes socials ($X$, en milers). S'han recopilat les dades de $8$ llançaments anteriors, i s'han obtingut els sumatoris següents:

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calcula la covariància, el coeficient de correlació lineal i estima les vendes que s'obtindran si es registren $25$ mil mencions el dia del llançament.

El diagrama de dispersió adjunt representa la relació entre la temperatura mitjana mensual ($X$, en $^\circ\text{C}$) i el consum de gas natural ($Y$, en $\text{m}^3$) en una ciutat durant l'últim any. Sabent que les mitjanes marginals són $\bar{x} = 15$ i $\bar{y} = 120$, i que el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $-3,5$, troba l'equació d'aquesta recta i estima el consum de gas per a un mes amb una temperatura mitjana de $8 \ ^\circ\text{C}$.

En estudiar la relació estadística entre dues variables $X$ i $Y$, s'han obtingut les rectes de regressió següents:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$

Calcula les coordenades del centre de gravetat de la distribució bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.

S'ha realitzat un estudi sobre el nombre d'hores d'entrenament setmanal ($X$) i la marca obtinguda en una prova d'atletisme ($Y$, en segons) en un grup de corredors. Després de l'anàlisi, se sap que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ i la covariància és $S_{xy} = -4,8$.

Calcula la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ i estima quantes hores setmanals va entrenar un atleta que ha aconseguit una marca de $42$ segons en la prova.

La taula de doble entrada següent mostra la distribució de $50$ famílies segons el nombre de fills ($X$) i el nombre de vehicles que posseeixen ($Y$):

Calcula la mitjana i la desviació típica de la distribució condicionada del nombre de vehicles que posseeixen les famílies sabent que tenen exactament $1$ fill (és a dir, la distribució $Y|X=1$).

El coeficient de correlació entre els ingressos mensuals ($X$, en euros) i la despesa en oci ($Y$, en euros) d'un grup de persones és $r = 0,75$. Si decidim expressar els ingressos en milers d'euros ($X' = \frac{X}{1000}$) i la despesa en oci incrementar-la en una quantitat fixa de $50$ euros a causa d'una subvenció ($Y' = Y + 50$), quin serà el nou coeficient de correlació lineal entre $X'$ i $Y'$? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de la covariància i les desviacions típiques.

Per a una distribució bidimensional es coneixen les dades següents: mida mostral $n = 10$, mitjanes marginals $\bar{x} = 5$ i $\bar{y} = 8$, variàncies marginals $S_x^2 = 4$ i $S_y^2 = 9$. A més, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 1,2x + 2$.

Calcula el valor exacte de la covariància $S_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal $r$.

En una prova de control de qualitat industrial es mesuren dues variables, $X$ i $Y$, i s'obtenen els quatre primers parells de dades $(x_i, y_i)$: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ i $(4, 7)$. El cinquè parell registrat és $(5, k)$, on $k$ és un valor real positiu pendent de validació.

1. a) Expressa en funció de $k$ les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$, la variància $\sigma_x^2$ i la covariància $\sigma_{xy}$.
2. b) Sabent que la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ ha de passar exactament per l'origen de coordenades $(0, 0)$, dedueix el valor exacte que ha de prendre $k$.
3. c) Amb el valor trobat de $k$, determina l'equació d'aquesta recta de regressió i calcula el coeficient de determinació $R^2$ per justificar si la recta trobada té prou capacitat explicativa.

A partir d'una mostra de l'Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre el nivell de vida en cinc municipis mitjans d'Espanya, es relacionen la renda mitjana disponible anual per llar ($X$, en desenes de milers d'euros) i la despesa mitjana anual en lleure i cultura ($Y$, en centenars d'euros):

1. a) Modela la relació lineal determinant l'equació de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$.
2. b) Interpreta el significat socioeconòmic concret del pendent obtingut i del terme independent en el context de l'estudi.
3. c) Utilitza el model per predir la despesa en lleure esperada en un municipi amb una renda mitjana per llar de $45\,000$ € ($x = 4,5$) i en un altre amb $120\,000$ € ($x = 12$). Compara raonadament la fiabilitat de totes dues prediccions distingint entre interpolació i extrapolació.
4. d) Si es volgués estimar la renda d'un municipi a partir de la seva despesa cultural, justifica si seria matemàticament adequat aïllar $x$ directament de l'equació obtinguda a l'apartat a).

Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional venen donades per les equacions $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) i $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).

Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i troba les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$.

En un estudi estadístic sobre dues variables $X$ i $Y$, s'ha realitzat un canvi de variable tipificant o reescalant les dades originals de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ i $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sap que la recta de regressió de $V$ sobre $U$ és $v = 0,8u + 1,5$.

Troba, desfent el canvi de variable, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ en la seva forma explícita $y = mx + n$.

Una fàbrica estudia la relació entre l'antiguitat de les seves màquines ($X$, en anys) i el cost anual de manteniment ($Y$, en centenars d'euros). S'han pres dades de $4$ màquines, però per un error informàtic s'ha perdut el cost de manteniment d'una d'elles. Els parells $(x_i, y_i)$ són: $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(5, k)$, $(6, 9)$.

Sabent que la mitjana marginal del cost de manteniment de les quatre màquines és $\bar{y} = 6,5$, determina el valor de $k$ i, a continuació, calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

Demostra matemàticament, utilitzant les expressions dels pendents de les rectes de regressió en funció de la covariància i les variàncies marginals, que si el coeficient de correlació lineal és perfecte ($r = 1$ o $r = -1$), les dues rectes de regressió (la de $Y$ sobre $X$ i la de $X$ sobre $Y$) són rectes coincidents.

El diagrama de dispersió següent mostra el creixement d'una colònia de bactèries ($Y$, en milers) en funció del temps ($X$, en hores). El núvol de punts suggereix un creixement exponencial del tipus $Y = A \cdot e^{BX}$.

Per linealitzar el model, s'ha proposat fer el canvi de variable $Z = \ln(Y)$. Si en fer l'ajust de regressió lineal de $Z$ sobre $X$ obtenim la recta $z = 0,4x + 1,2$, determina els valors numèrics de les constants $A$ i $B$ del model exponencial original.

Es té la taula de freqüències conjuntes següent (freqüències absolutes) per a dues variables qualitatives $X$ i $Y$:

Determina el valor exacte del paràmetre $k$ sabent que les variables $X$ i $Y$ són estadísticament independents.

En un estudi estadístic, la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 2x - 3$ i la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ és $x = 0,4y + 2$. Sabent que la variància marginal de la variable $X$ és $S_x^2 = 5$, calcula el valor de la variància marginal de $Y$, $S_y^2$, i el valor de la covariància $S_{xy}$.

S'han estudiat dos grups d'empleats d'una mateixa empresa multinacional per analitzar la relació entre els anys d'experiència ($X$) i el salari mensual ($Y$).

En el Grup A, format per $10$ empleats, s'ha obtingut: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, i una covariància $S_{xy,A} = 200$.

En el Grup B, format per $20$ empleats, s'ha obtingut: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, i una covariància $S_{xy,B} = 350$.

Calcula la covariància total $S_{xy}$ si decidíssim agrupar els $30$ empleats en una única distribució bidimensional.

S'estudia l'evolució del nombre de vehicles elèctrics matriculats ($Y$, en desenes) en una comarca segons l'any transcorregut ($X$). La sèrie històrica observada és:

Per obtenir la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ i el coeficient de correlació $r$, es plantegen dues alternatives:

• Camí 1 (Directe): Calcular els sumatoris $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum y_i^2$ i $\sum x_i y_i$ directament sobre les dades numèriques originals.

• Camí 2 (Canvi de variable): Definir $U = X - 2022$ i $V = Y - 122$, calcular la recta de regressió de $V$ sobre $U$ ($v = m \cdot u + n$) i revertir algebraicament la transformació substituint $u = x - 2022$ i $v = y - 122$.

1. a) Compara tots dos camins: demostra teòricament que un canvi d'origen $U = X - h$ i $V = Y - k$ no altera la covariància ($\sigma_{uv} = \sigma_{xy}$) ni les variàncies marginals, i justifica quin dels dos mètodes és preferible davant del risc d'errors de càlcul o d'arrodoriment.
2. b) Aplica el Camí 2 per trobar la recta de regressió de $V$ sobre $U$.
3. c) Desfés el canvi de variable per deduir la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ i calcula el coeficient de correlació lineal $r$.

Dos centres de recerca A i B analitzen, en mostres independents d'estudiants, la relació entre les hores setmanals d'ús de pantalles recreatives ($X$) i la qualificació mitjana ($Y$). Sorprenentment, tots dos centres obtenen exactament les mateixes equacions de regressió:

• Recta d'$Y$ sobre $X$: $y = -0,25x + 9$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -y + 15$

1. a) Demostra que el coeficient de correlació lineal $r$ i el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ són obligatòriament idèntics en tots dos estudis, calculant els seus valors numèrics exactes.
2. b) L'equip A informa que la variància de les hores de pantalla a la seva mostra és $\sigma_{x,A}^2 = 16$, mentre que l'equip B afirma que a la seva és $\sigma_{x,B}^2 = 4$. Demostra si és possible que tots dos equips tinguin raó simultàniament calculant, per a cada centre, la seva covariància $\sigma_{xy}$ i la variància de les notes $\sigma_y^2$. Explica a partir d'aquest resultat per què els pendents de regressió no basten per si sols per reconstruir la covariància.
3. c) Si es fusionen totes dues mostres en un únic col·lectiu de $100$ estudiants ($N_A = 60$ del centre A i $N_B = 40$ del centre B), calcula la covariància conjunta aprofitant que comparteixen el mateix centre de gravetat i raona si la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ del conjunt total diferirà de l'obtinguda pels centres per separat.

Repte del tema. Com condiciona l'altitud el clima del nostre país? Converteix-te en analista climàtic i elabora un informe executiu utilitzant GeoGebra o un full de càlcul.

1. Presa de dades: Consulta el web d'AEMET i recopila en una taula l'altitud ($x$, en metres) i la temperatura mitjana anual ($y$, en °C) de $10$ capitals de província espanyoles de diferents zones geogràfiques.

2. Estudi bidimensional: Introdueix les dades al programari. Calcula les mitjanes ($\bar{x}$, $\bar{y}$), desviacions típiques, la covariància i el coeficient de correlació lineal de Pearson ($r$). Representa el núvol de punts i determina la recta de regressió de $y$ sobre $x$.

3. Predicció i causalitat: Estima la temperatura esperada per a un municipi situat a $1250\text{ m}$ i argumenta la fiabilitat del teu resultat. Comprova si un model no lineal (exponencial o potencial) milloraria l'ajust i reflexiona si l'altitud és causa directa de la variació tèrmica o si hi intervenen variables latents.

Lliura un informe breu (una pàgina) amb la taula, les gràfiques i la teva justificació raonada.

Es valorarà:

• Rigor en el càlcul d'estadístics bidimensionals i la recta de regressió amb eines digitals.

• Destresa en la representació gràfica i interpretació del coeficient $r$.

• Profunditat crítica en extrapolar valors i debatre sobre causalitat enfront de correlació.