Regresión no lineal y causalidad

Las tres nubes de puntos de la figura corresponden a tres estudios distintos. Para cada una de ellas, indica qué tipo de modelo parece más adecuado —lineal ($y = a + bx$), cuadrático ($y = a + bx + cx^2$) o exponencial ($y = a \cdot b^x$)— y justifica brevemente tu elección.

El número de usuarios de una aplicación crece de forma aproximadamente exponencial: $y = a \cdot b^x$, donde $x$ son los meses transcurridos. Tomando logaritmos neperianos, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de modo que los pares $(x, \ln y)$ se ajustan a una recta. Los datos linealizados son:

1. a) Comprueba que los cuatro puntos linealizados están exactamente sobre una recta y halla su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$ (expresa $a$ y $b$ como potencias de $e$ y aproxímalas con dos decimales).

1. c) Estima el número de usuarios al cabo de $6$ meses.

La superficie de un lago cubierta por una planta invasora se ha medido durante $5$ meses:

1. a) Representa los pares $(x, \ln y)$, comprueba que se alinean razonablemente y ajusta una recta a los datos linealizados (tómate $\ln y$ con dos decimales).

1. b) Escribe el modelo exponencial $y = a \cdot b^x$ correspondiente y calcula el ritmo de crecimiento mensual en porcentaje.

1. c) Predice la superficie cubierta en el mes $8$ y, sabiendo que el lago tiene $1.500\ \text{m}^2$, comenta qué problema presenta extrapolar este modelo a largo plazo.

En un laboratorio de Física se mide el periodo $T$ de un péndulo en función de su longitud $L$, y se sospecha una relación potencial $T = a \cdot L^b$. Tomando logaritmos, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Los datos linealizados son:

1. a) Ajusta una recta a los datos linealizados y escribe su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$.

1. c) Compara el valor obtenido de $b$ con el que predice la Física, $b = \frac{1}{2}$, y comenta el resultado.

Se sospecha que la variable $y$ depende cuadráticamente de $x$. Con los cinco datos de la tabla

se han calculado las sumas $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ y $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones que deben cumplir los coeficientes de la parábola de regresión $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Resuélvelo y escribe la ecuación del ajuste cuadrático.

1. c) Estima el valor de $y$ para $x = 5$ y comenta la fiabilidad de esa predicción.

El consumo de un coche eléctrico, en $\text{kWh}$ cada $100\ \text{km}$, se ha medido a distintas velocidades y los datos aparecen en la figura:

1. a) Representa mentalmente (o esboza) la nube de puntos y razona por qué un modelo cuadrático es más adecuado que uno lineal.

1. b) Calcula las sumas necesarias $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ y plantea el sistema del ajuste cuadrático.

1. c) Resuelve el sistema y escribe la ecuación de la parábola de regresión (redondea los coeficientes a cuatro decimales).

1. d) Halla la velocidad de consumo mínimo según el modelo y predice el consumo a $140\ \text{km/h}$, valorando la fiabilidad de esa predicción.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El coeficiente de correlación entre las ventas de helados y el número de ahogamientos en piscinas es alto y positivo; por tanto, vender más helados provoca más ahogamientos». Si es falsa, explica el error de interpretación y nombra una variable que podría explicar ambas a la vez.

En varios distritos de una región europea se ha observado una correlación $r = 0,85$ entre el número de cigüeñas censadas y el número de nacimientos registrados.

1. a) Explica por qué sería absurdo concluir que las cigüeñas «traen» los bebés, identificando el tipo de correlación que presenta este ejemplo.

1. b) Propón una variable oculta plausible que explique la correlación y razona cómo actúa sobre ambas variables.

1. c) Diseña brevemente qué datos recogerías y qué cálculo harías para desenmascarar la relación espuria.