Exercicis: Regressió no lineal i causalitat

En un ajust lineal per mínims quadrats s'ha obtingut un coeficient de correlació $r = -0,9$. Calcula el coeficient de determinació $r^2$ i interpreta el seu significat: quin percentatge de la variació de la variable $y$ queda explicat per la variació de $x$?

Els tres núvols de punts de la figura corresponen a tres estudis diferents. Per a cadascun d'ells, indica quin tipus de model sembla més adequat —lineal ($y = a + bx$), quadràtic ($y = a + bx + cx^2$) o exponencial ($y = a \cdot b^x$)— i justifica breument la teva elecció.

Raona si la següent afirmació és meitat/vertadera o falsa: «El coeficient de correlació entre les vendes de gelats i el nombre d'ofegaments en piscines és alt i positiu; per tant, vendre més gelats provoca més ofegaments». Si és falsa, explica l'error d'interpretació i anomena una variable que podria explicar totes dues coses alhora.

En dos estudis estadístics s'han obtingut els coeficients de correlació $r_1 = 0,8$ i $r_2 = -0,95$. Quin dels dos ajustos lineals permet fer prediccions més fiables? Explica per què el signe del coeficient no afecta la fiabilitat.

Un observatori de l'AEMET en una capital de l'interior peninsular registra les temperatures en un calorós dia de juliol des de les 08:00 ($x = 0$) fins a les 20:00 ($x = 12$). Els termòmetres marquen $21\,^\circ\text{C}$ a primera hora, assoleixen un màxim de $41\,^\circ\text{C}$ cap a les 16:00 ($x = 8$) i descendeixen a $33\,^\circ\text{C}$ a les 20:00. Un equip d'estudiants dubta entre tres models per ajustar les dades: el lineal $y = a + bx$, l'exponencial $y = a \cdot b^x$ ($a > 0$, $b > 0$) i el quadràtic $y = ax^2 + bx + c$.

1. a) Compara les propietats gràfiques i de creixement dels tres models i descarta raonadament dos d'ells explicant per què el seu comportament és físicament incompatible amb l'evolució de la temperatura en aquest interval.
2. b) Per al model que has considerat idoni, indica justificadament quin signe ha de tenir el paràmetre $a$ per reflectir l'existència d'una temperatura màxima diària.
3. c) Si en calcular el coeficient de correlació lineal s'obté un valor baix de $r = 0,38$, un estudiant afirma: «Com que $r$ és tan baix, queda demostrat que l'hora del dia amb prou feines influeix en la temperatura». Explica quin error conceptual comet en interpretar aquest valor de $r$.

La Lucía analitza la depreciació del valor de mercat d'un vehicle elèctric en el mercat d'ocasió espanyol en funció de la seva antiguitat $x$ (en anys). Per ajustar un model exponencial decreixent $y = a \cdot b^x$ ($y > 0$), aplica la transformació neperiana $z = \ln y$ i obté mitjançant mínims quadrats la recta:

En les conclusions del seu treball de final de curs, la Lucía escriu:

«El preu de sortida del vehicle nou és d'$a = 10,2$ euros i cada any que passa el seu valor es multiplica per $b = -0,15$. Com que el coeficient de correlació de la recta transformada és $r = -0,98$, el pas del temps és la causa directa i única de tota la pèrdua de valor de l'automòbil».

1. a) Localitza els dos errors algebraics que comet la Lucía en deduir els paràmetres $a$ i $b$ a partir de la recta linealitzada i calcula els seus valors correctes (pots deixar-los expressats com a potències del nombre $e$ i donar una aproximació amb dos decimals).
2. b) Detecta l'error conceptual en la seva afirmació sobre la causalitat i proposa almenys una variable latent o aliena als anys del cotxe que també influeixi decisivament en el seu valor de revenda.

Es sospita que la variable $y$ depèn quadràticament de $x$. Amb les cinc dades de la taula

s'han calculat les sumes $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ i $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions que han de complir els coeficients de la paràbola de regressió $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Resol-lo i escriu l'equació de l'ajust quadràtic.

1. c) Estima el valor de $y$ per a $x = 5$ i comenta la fiabilitat d'aquesta predicció.

El nombre d'usuaris d'una aplicació creix de forma aproximadament exponencial: $y = a \cdot b^x$, on $x$ són els mesos transcorreguts. Prenent logaritmes neperians, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de manera que els parells $(x, \ln y)$ s'ajusten a una recta. Les dades linealitzades són:

1. a) Comprova que els quatre punts linealitzats estan exactament sobre una recta i troba la seva equació.

1. b) Dedueix els valors de $a$ i $b$ (expressa $a$ i $b$ com a potències de $e$ i aproxima-les amb dos decimals).

1. c) Estima el nombre d'usuaris al cap de $6$ mesos.

Per a les mateixes dades s'han provat dos models: un ajust lineal amb $r = 0,84$ i un ajust quadràtic amb coeficient de determinació $r^2 = 0,93$.

1. a) Calcula el coeficient de determinació del model lineal.

1. b) Quin percentatge de la variació de $y$ explica cada model?

1. c) Quin triaries per fer prediccions? Justifica la teva resposta.

En una ciutat s'observa una correlació $r = 0,92$ entre el nombre de camions de bombers que acudeixen a un incendi i els danys econòmics que aquest provoca. Un polític afirma: «Per reduir els danys dels incendis, hauríem d'enviar menys camions de bombers». Analitza la fal·làcia del seu raonament, identifica la variable que explica la correlació i formula una conclusió correcta a partir de la mateixa dada.

Amb les dades d'una distribució bidimensional en la qual $x$ varia entre $10$ i $30$, amb $\bar{x} = 20$ i $r = 0,97$, s'ha obtingut una recta de regressió. Dos alumnes la utilitzen per estimar $y$: un per a $x = 22$ i un altre per a $x = 55$.

1. a) Quina estimació és més fiable? Raona la resposta fent servir la posició de cada valor respecte del rang de les dades i de $\bar{x}$.

1. b) Com es diu el tipus de predicció que es fa fora del rang de les dades i per què és arriscada?

La figura mostra el percentatge de llars espanyoles amb connexió de fibra òptica en funció dels anys transcorreguts des de 2015, segons dades de l'INE.

1. a) Ajusta una recta de regressió a les cinc primeres dades fent servir les mitjanes $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 64,6$ i els valors $s_{xy} = 55,2$, $s_x^2 = 8$.

1. b) Predeix el percentatge per a $x = 12$ (any 2027) amb aquesta recta.

1. c) Observant la forma del núvol de punts complet, critica la validesa d'aquesta predicció a llarg termini: quina cota natural té la variable i quin tipus de model seria més assenyat?

Un alumne, després de calcular un coeficient de correlació $r = 0,4$, escriu en el seu informe: «Com que $r = 0,4$, el $40\,\%$ de la variació de $y$ es deu a la variació de $x$». Detecta l'error conceptual, corregeix-ho calculant el percentatge correcte i valora si l'ajust lineal és adequat per fer prediccions amb aquestes dades.

En un laboratori de Física es mesura el període $T$ d'un pèndol en funció de la seva longitud $L$, i es sospita una relació potencial $T = a \cdot L^b$. Prenent logaritmes, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Les dades linealitzades són:

1. a) Ajusta una recta a les dades linealitzades i escriu la seva equació.

1. b) Dedueix els valors de $a$ i $b$.

1. c) Compara el valor obtingut de $b$ amb el que prediu la Física, $b = \frac{1}{2}$, i comenta el resultat.

Un grup de biòlegs monitora en un aiguamoll de Doñana la propagació d'una espècie vegetal invasora. Es mesura la superfície afectada $y$ (en $\text{m}^2$) en funció del temps transcorregut $x$ (en setmanes) des que va començar el seguiment, i s'obtenen els mesuraments següents:

• A les $x = 0$ setmanes: $y = 10\text{ m}^2$.

• A les $x = 2$ setmanes: $y = 40\text{ m}^2$.

• A les $x = 4$ setmanes: $y = 160\text{ m}^2$.

1. a) Observa la pauta de variació de les dades i fes una estimació intuïtiva de quina superfície ocuparà la planta invasora a les $x = 5$ setmanes i a les $x = 6$ setmanes, explicant el raonament que has utilitzat.
2. b) Per comprovar matemàticament la teva estimació, aplica la transformació logarítmica $z = \ln y$ als tres parells de dades. Demostra que els punts transformats $(x, z)$ estan perfectament alineats en una recta $z = \ln a + x \cdot \ln b$ i calcula els valors exactes dels paràmetres $a$ i $b$ del model exponencial $y = a \cdot b^x$.
3. c) Substitueix $x = 5$ en el model analític obtingut, comprova si coincideix amb la teva estimació prèvia i valora si aquest model exponencial continua sent versemblant per predir la superfície ocupada al cap d'un any complet ($x = 52$ setmanes), tenint en compte els límits físics de l'ecosistema.

La Direcció General de Trànsit (DGT) realitza assajos de seguretat viària per modelitzar la distància total de frenada d'emergència $y$ (en metres) d'un turisme sobre paviment mullat segons la velocitat inicial $x$ (mesurada en desenes de km/h, és a dir, $x = 2$ representa $20\text{ km/h}$). Els resultats experimentals són els següents:

• Per a $x = 2$: $y = 4\text{ m}$.

• Per a $x = 4$: $y = 16\text{ m}$.

• Per a $x = 8$: $y = 64\text{ m}$.

1. a) Se sospita que la relació respon a un model potencial $y = a \cdot x^b$. Aplica la doble transformació logarítmica neperiana ($w = \ln x$ i $z = \ln y$) i expressa les coordenades transformades $(w_i, z_i)$ en funció de $\ln 2$.
2. b) Comprova que els tres punts transformats pertanyen a una mateixa recta $z = \ln a + b \cdot w$, calcula algebraicament el seu pendent $b$ i la seva ordenada a l'origen $\ln a$, i escriu l'equació definitiva del model potencial $y = f(x)$.
3. c) Interpreta el valor numèric de l'exponent $b$ recolzant-te en la física (fórmula de l'energia cinètica, $E_c = \frac{1}{2}m v^2$). Per què aquest model evidencia que duplicar la velocitat de conducció implica un augment molt més dràstic del risc d'impacte?

El consum d'un cotxe elèctric, en $\text{kWh}$ cada $100\ \text{km}$, s'ha mesurat a diferents velocitats i les dades apareixen a la figura:

1. a) Representa mentalment (o esbossa) el núvol de punts i raona per què un model quadràtic és més adequat que un de lineal.

1. b) Calcula les sumes necessàries $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ i planteja el sistema de l'ajust quadràtic.

1. c) Resol el sistema i escriu l'equació de la paràbola de regressió (arrodoneix els coeficients a quatre decimals).

1. d) Troba la velocitat de consum mínim segons el model i predeix el consum a $140\ \text{km/h}$, valorant la fiabilitat d'aquesta predicció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En diversos districtes d'una regió europea s'ha observat una correlació $r = 0,85$ entre el nombre de cigonyes censades i el nombre de naixements registrats.

1. a) Explica per què seria absurd concloure que les cigonyes «porten» els bebès, identificant el tipus de correlació que presenta aquest exemple.

1. b) Proposa una variable oculta plausible que expliqui la correlació i raona com actua sobre totes dues variables.

1. c) Dissenya breument quines dades recolliries i quin càlcul faries per desemmascarar la relació espúria.

En una distribució bidimensional, la recta de regressió de $y$ sobre $x$ té pendent $m_{yx} = 1,2$ i la recta de regressió de $x$ sobre $y$ té pendent $m_{xy} = 0,75$.

1. a) Utilitzant la relació $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$, calcula el coeficient de determinació.

1. b) Dedueix el valor del coeficient de correlació $r$, raonant el seu signe.

1. c) Interpreta el valor de $r^2$ com a percentatge de variació explicada i valora la fiabilitat de les prediccions fetes amb aquestes rectes.

La superfície d'un llac coberta per una planta invasora s'ha mesurat durant $5$ mesos:

1. a) Representa els parells $(x, \ln y)$, comprova que s'alineen raonablement i ajusta una recta a les dades linealitzades (pren $\ln y$ amb dos decimals).

1. b) Escriu el model exponencial $y = a \cdot b^x$ corresponent i calcula el ritme de creixement mensual en percentatge.

1. c) Predeix la superfície coberta en el mes $8$ i, sabent que el llac té $1.500\ \text{m}^2$, comenta quin problema presenta extrapolar aquest model a llarg termini.

Per modelitzar la trajectòria d'un projectil en una prova balística es pren una mostra de $N = 5$ punts amb abscisses simètriques respecte a l'origen: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$ i $x_5 = 2$. Es vol ajustar una paràbola per mínims quadrats $y = ax^2 + bx + c$, el sistema general d'equacions normals de la qual és:

1. a) Calcula les sumes $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$ i $\sum x_i^4$. Explica quina propietat de la simetria de les $x_i$ fa que el paràmetre $b$ quedi completament desacoblat d'$a$ i $c$, simplificant el sistema de 3 equacions en dos blocs independents.
2. b) Planteja el problema invers: es pretén que la corba ajustada tingui vèrtex a $(0, 4)$ amb obertura cap avall, resultant exactament el model $y = -0,5x^2 + 4$. Si la suma de les ordenades observades és $\sum y_i = 15$, dedueix quin valor exacte ha de prendre la suma ponderada $\sum x_i^2 y_i$ perquè el model satisfaci el sistema de mínims quadrats.
3. c) Construeix una taula amb cinc valors concrets $(x_i, y_i)$ que compleixin simultàniament la simetria $y_1 = y_5$, $y_2 = y_4$, $\sum y_i = 15$ i que encaixin amb aquesta paràbola. Si calculessis el coeficient de correlació lineal tradicional $r$ per a aquests 5 punts, quin valor exacte obtindries? Raona l'aparent paradoxa entre el valor de $r$ i la força de la dependència funcional existent.

Un estudi de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre el desenvolupament socioeconòmic en municipis de l'Espanya rural analitza la relació entre la cobertura de fibra òptica ($x$, en $\%$ de llars connectades) i la productivitat agrària mitjana ($y$, en milers d'euros per explotació a l'any). Per ajustar les dades de 50 municipis, un equip economètric assaja dues linealitzacions logarítmiques:

• Opció 1 (regressió de $\ln y$ sobre $x$): obté la recta $z = 1,38 + 0,02 x$ amb coeficient de determinació $R_1^2 = 0,82$.

• Opció 2 (regressió de $\ln y$ sobre $\ln x$): obté la recta $z = 0,69 + 0,55 w$ (on $w = \ln x$) amb coeficient de determinació $R_2^2 = 0,95$.

1. a) Desfés algebraicament les transformacions i escriu l'expressió explícita $y = f(x)$ que correspon a cadascun dels dos models (pots aproximar els coeficients que involucrin potències d'$e$ a dues xifres decimals).
2. b) Analitza el comportament de la taxa de creixement de la productivitat en tots dos models quan la cobertura de fibra $x$ es fa molt gran. Justifica quin dels dos reflecteix millor el principi econòmic de rendiments decreixents (on cada punt percentual extra de cobertura aporta un increment de productivitat cada vegada menor) i compara'l amb el criteri estadístic que proporciona el coeficient $R^2$.
3. c) L'alcalde d'una localitat conclou en un ple: «Atès que el model potencial té un ajust excel·lent d'$R^2 = 0,95$, invertir tot el pressupost disponible a assolir el $100\,\%$ de fibra òptica garantirà directament que la productivitat dels nostres agricultors assoleixi el màxim previst». Fes una crítica metodològica d'aquesta conclusió analitzant per què una correlació no implica causalitat i assenyalant almenys dues variables ocultes (o factors de confusió) que probablement expliquin simultàniament una alta connectivitat i una alta productivitat.