Exercicis: Coeficient de correlació lineal

En un estudi sobre el rendiment de panells solars, s'ha calculat que la covariància entre la radiació solar rebuda ($X$) i l'energia generada ($Y$) és $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabent que les desviacions típiques són $\sigma_x = 4,0$ i $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson i interpreta el resultat.

Considera les parelles següents de variables estadístiques. Indica, raonadament, si el coeficient de correlació lineal entre elles serà positiu, negatiu o proper a zero:

1. a) El nombre d'hores d'entrenament setmanal d'un atleta i el seu temps en recórrer 100 metres llisos.
2. b) La quantitat de pluja caiguda en un mes i les vendes de paragües en aquest mateix mes.
3. c) L'últim dígit del DNI d'una persona i la seva alçada en centímetres.

El coeficient de correlació lineal entre la despesa en publicitat ($X$, en milers d'euros) i els ingressos per vendes ($Y$, en milers d'euros) d'una empresa és $r = 0,88$. Si les desviacions típiques marginals són $\sigma_x = 2,5$ i $\sigma_y = 12,4$, determina el valor de la covariància $\sigma_{xy}$.

Observa els tres diagrames de dispersió etiquetats com a A, B i C. Associa cadascun d'ells amb el valor del coeficient de correlació lineal que el descrigui millor, triant entre els valors següents: $r = -0,92$, $r = 0,05$ i $r = 0,95$.

En una distribució bidimensional, es sap que el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $m_{yx} = 1,25$ i el pendent de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ és $m_{xy} = 0,65$. Sabent que la dependència entre les variables és directa, calcula el coeficient de correlació lineal $r$.

S'ha mesurat el temps de reacció ($X$, en segons) i el nombre d'errors comesos ($Y$) en una prova de coordinació psicomotriu per a 3 individus, i s'han obtingut els parells de valors següents: $(1, 2)$, $(2, 4)$ i $(3, 5)$. Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson per a aquest petit conjunt de dades.

El coeficient de determinació d'un model matemàtic que relaciona l'edat d'un vehicle comercial ($X$, en anys) amb el seu valor de mercat ($Y$, en euros) és $R^2 = 0,7225$. Sabent que com més edat té el vehicle més disminueix el seu valor, quin és el valor exacte del coeficient de correlació lineal $r$?

Classifica la força (forta, moderada o dèbil/nul·la) i el sentit (positiva o negativa) de la correlació lineal per a cadascun dels coeficients següents obtinguts en diferents estudis estadístics:

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

En una classe de 1r de Batxillerat, en Sergio analitza dues assignatures per esbrinar en quina hi ha una dependència lineal més gran respecte a les hores d'estudi setmanals. Després de fer els càlculs, obté per a l'assignatura A un coeficient de correlació $r_A = 0,42$ i per a l'assignatura B (on mesura el nombre d'errors en un examen enfront de les hores d'estudi) un coeficient $r_B = -0,81$. En Sergio conclou en el seu informe: «La relació lineal és molt més forta en l'assignatura A que en la B perquè $0,42 > -0,81$; a més, el signe negatiu en B demostra que el model lineal no és vàlid per predir els errors». Identifica i redacta amb precisió els dos errors conceptuals comesos per en Sergio, explica per què són falses les seves afirmacions i determina en quina de les dues assignatures la recta de regressió explicarà un percentatge més alt de la variabilitat.

Una estació meteorològica als Pirineus registra l'altitud sobre un punt base ($X$, en centenars de metres) i la temperatura mitjana durant una setmana hivernal ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en cinc cotes diferents: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 4)$ i $(5, 3)$. Fes les tasques següents:

1. a) Abans de calcular res, observa la tendència dels parells de valors: quin signe esperes per a la covariància i per a $r$? Estima raonadament si el valor de $|r|$ estarà més pròxim a $0$, a $0,5$ o a $1$.
2. b) Comprova la teva estimació calculant les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$, les desviacions típiques $\sigma_x$ i $\sigma_y$, la covariància $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal $r$.
3. c) A partir del valor obtingut per a $r$, calcula el coeficient de determinació $r^2$ i interpreta quin percentatge de la variabilitat de la temperatura queda explicat per l'altitud.

Una empresa de logística vol estudiar la relació entre el pes dels enviaments ($X$, en kg) i el cost del transport ($Y$, en euros). Per fer-ho, selecciona una mostra de 5 enviaments, i obté les dades següents:

• Pes ($X$): 2, 4, 5, 8, 11

• Cost ($Y$): 12, 15, 18, 25, 30

Calcula les mitjanes, les desviacions típiques marginals, la covariància i el coeficient de correlació lineal. Segons el resultat, és el pes un bon predictor lineal del cost del transport?

En un estudi d'agronomia, s'ha calculat que el coeficient de correlació lineal entre la temperatura mitjana mensual en graus Celsius ($C$) i la producció d'un conreu en tones ($P$) és $r = 0,82$. Si decidim expressar la temperatura en graus Fahrenheit utilitzant la fórmula $F = 1,8C + 32$ i la producció en quilograms mitjançant $K = 1000P$, quin serà el nou coeficient de correlació entre $F$ i $K$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats matemàtiques d'aquest coeficient.

Les dades d'un assaig clínic sobre la dosi d'un medicament ($X$, en mg) i el temps de recuperació ($Y$, en dies) per a $N=10$ pacients es resumeixen en els sumatoris següents:

$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.

Calcula el coeficient de correlació lineal i interpreta el resultat en el context del problema mèdic.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre les hores d'estudi setmanals ($X$) i la qualificació obtinguda en un examen ($Y$) per a un grup d'estudiants.

Analitza visualment el núvol de punts i respon de forma raonada:

1. a) Si no tinguéssim en compte el punt anòmal (outlier) situat a la part inferior dreta, com seria el coeficient de correlació lineal?
2. b) Quin efecte produeix la inclusió d'aquest punt anòmal sobre el valor del coeficient de correlació de Pearson respecte al cas anterior?

En una investigació de mercat, s'han obtingut les dues rectes de regressió lineal que relacionen el preu d'un producte ($X$) i la seva demanda mensual ($Y$). Les equacions de les rectes esmentades són:

Recta 1: $y = -1,5x + 120$

Recta 2: $x = -0,6y + 75$

Calcula el coeficient de correlació lineal i indica el grau de relació entre el preu i la demanda.

En una distribució estadística bidimensional, es coneix que la variància de la primera variable és $\sigma_x^2 = 25$, la covariància conjunta és $\sigma_{xy} = 18$ i el coeficient de correlació lineal és $r = 0,6$. A partir d'aquestes dades, determina el valor exacte de la variància de la segona variable, $\sigma_y^2$.

Un entrenador de bàsquet analitza els minuts jugats ($X$) i els punts anotats ($Y$) per 6 dels seus jugadors en un partit, i obté els parells de dades següents: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcula el coeficient de determinació $R^2$ i explica quin percentatge de la variabilitat dels punts anotats queda explicada linealment pels minuts jugats.

Donades les rectes de regressió $y = 0,8x + 2,5$ i $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficient de correlació lineal $r$. A continuació, determina la mitjana de la variable $Y$.

A partir d'una mostra de 5 comarques, un estudi del parc automobilístic analitza la relació entre l'antiguitat mitjana dels turismes ($X$, en anys) i la despesa mitjana anual en reparacions per vehicle ($Y$, en centenars d'euros), obtenint les observacions següents: $(4; 2,5)$, $(6; 3,5)$, $(8; 5,0)$, $(10; 6,0)$ i $(12; 8,0)$.

1. a) Modelitza la relació calculant les desviacions típiques, la covariància i el coeficient de correlació lineal $r$. Com qualificaries la intensitat de l'ajust lineal?
2. b) Calcula el coeficient de determinació $r^2$ i interpreta en el context del problema quin percentatge de la variabilitat de la despesa en reparacions constitueix dispersió residual (no explicada per l'antiguitat del vehicle).
3. c) Si una asseguradora decideix expressar l'antiguitat en mesos ($X' = 12X$) i el cost en euros ($Y' = 100Y$), justifica algebraicament mitjançant les propietats de la covariància i la desviació típica quin serà el nou coeficient de correlació $r'$ sense tornar a operar amb les dades numèriques individuals.

Es coneixen quatre observacions d'una distribució bidimensional: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$ i $(4, 8)$. S'hi incorporarà una cinquena observació de la forma $(5, y_5)$.

1. a) Determina quin valor ha de prendre $y_5$ perquè el coeficient de correlació lineal sigui exactament $r = 1$. Justifica la teva resposta a partir de la relació funcional existent entre els quatre primers punts, sense calcular variàncies.
2. b) Planteja l'equació de la covariància $\sigma_{xy}$ en funció de $y_5$ i calcula quin valor ha de prendre $y_5$ perquè la covariància sigui exactament $0$. Comprova que, amb aquest valor, les desviacions típiques són estrictament positives i conclou el valor de $r$.
3. c) Amb el valor de $y_5$ trobat a l'apartat b s'obté $r = 0$. Significa això que no hi ha cap relació entre ambdues variables en aquesta mostra de cinc punts? Explica la diferència entre «absència de correlació lineal» i «absència de relació» observant el conjunt de punts resultant.

S'està estudiant la relació entre dues variables $X$ i $Y$ a partir de tres observacions experimentals: $(0, 2)$, $(3, 8)$ i $(5, k)$. Sabem d'antemà que existeix una dependència funcional lineal perfecta i positiva entre totes dues variables, és a dir, el coeficient de correlació és $r = 1$. Sense necessitat de calcular les desviacions típiques, determina el valor del paràmetre $k$.

Sigui una distribució bidimensional $(X, Y)$ on la variable $Y$ s'obté a partir de la variable $X$ mitjançant la transformació afí $Y = -4X + 7$, amb $X$ no constant ($\sigma_x > 0$). Demostra analíticament, utilitzant les definicions algebraiques de la covariància i la desviació típica, que el coeficient de correlació lineal entre $X$ i $Y$ és exactament $-1$.

Donades dues variables estadístiques $X$ i $Y$, es defineixen les seves corresponents variables tipificades com a $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ i $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demostra pas a pas que la covariància entre les variables tipificades, $\sigma_{z_x z_y}$, és exactament igual al coeficient de correlació lineal $r_{xy}$ de les variables originals.

En un estudi d'enginyeria sobre la resistència de certs materials polimèrics, s'han obtingut dues rectes de regressió les equacions implícites de les quals són $3x - 2y - 8 = 0$ i $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Identifica raonadament quina és la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i quina és la recta de regressió de $X$ sobre $Y$.
2. b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ entre totes dues variables.

El diagrama de dispersió següent representa la relació entre la temperatura d'un reactor químic ($X$, centrada en 0) i el rendiment de la reacció ($Y$). Els punts registrats són $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ i $(2, 4)$.

1. a) Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson per a aquestes dades.
2. b) A la vista del resultat matemàtic i del gràfic adjunt, explica detalladament per què el coeficient de correlació pren aquest valor tot i que existeix una dependència funcional exacta ($y = x^2$) entre les variables.

Les variables aleatòries $X$ i $Y$ tenen variàncies $\sigma_x^2 = 16$ i $\sigma_y^2 = 25$, i el seu coeficient de correlació lineal és $r_{xy} = 0,4$. Es defineix una nova variable sintètica $W = X + kY$, on $k$ és una constant real. Determina el valor exacte de $k$ perquè les variables $X$ i $W$ no estiguin correlacionades (és a dir, $r_{xw} = 0$).

Nota: Pots utilitzar la propietat de linealitat de la covariància: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

En un experiment de termodinàmica, es mesura la pressió ($P$) d'un gas a diferents volums ($V$) mantenint la temperatura constant. La teoria física prediu una relació del tipus $P = \frac{k}{V}$. Per linealitzar el model i aplicar regressió lineal, es defineix una nova variable auxiliar $X = \frac{1}{V}$. S'han obtingut els parells experimentals $(V, P)$ següents: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.

Calcula el coeficient de correlació lineal entre $X$ i $P$. Confirma el resultat obtingut la teoria física subjacent?

La variància residual (o error quadràtic mitjà) de la regressió de $Y$ sobre $X$ proporciona una mesura de la dispersió dels punts entorn de la recta d'ajust, i es pot calcular mitjançant l'expressió $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. En un estudi socioeconòmic, es sap que la variància de la variable dependent $Y$ és $36$ i que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ deixa una variància residual de $6,25$. Si es coneix que el pendent de la recta de regressió esmentada és negatiu, troba el coeficient de correlació lineal $r$ i interpreta estadísticament el seu significat.

Un laboratori d'astrofísica registra cinc mesuraments conjunts de dues magnituds amb valors molt elevats:

$(10\,002; 50\,010),\ (10\,004; 50\,016),\ (10\,006; 50\,022),\ (10\,008; 50\,028),\ (10\,010; 50\,034)$.

Per trobar el coeficient de correlació lineal $r$, l'equip debat entre tres estratègies:

• Mètode 1 (Directe): Calcular $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$, $\sigma_y^2$ i $\sigma_{xy}$ aplicant les fórmules sobre les dades originals.

• Mètode 2 (Canvi d'escala i origen): Tipificar o centrar definint $U = \frac{X - 10\,006}{2}$ i $V = \frac{Y - 50\,022}{6}$, calcular $r_{uv}$ sobre els valors reduïts $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ i deduir $r_{xy}$.

• Mètode 3 (Deducció funcional): Buscar si hi ha una relació exacta $Y = aX + b$ entre els punts i aplicar el resultat teòric sobre variables colineals.

1. a) Resol el problema aplicant el Mètode 2 i el Mètode 3, explicant detalladament els passos seguits en cadascun.
2. b) Compara críticament els tres mètodes: raona quin és el més eficient i argumenta quins desavantatges numèrics presenta el Mètode 1 en operar manualment o amb calculadores estàndard.
3. c) Si l'últim mesurament hagués estat $(10\,010; 50\,030)$ en lloc de $(10\,010; 50\,034)$, continuarien sent vàlids els tres mètodes? Justifica quin quedaria invalidat i quin dels restants seria el més convenient per calcular el nou $r$.

Un estudi sobre condicions laborals analitza en dos sectors professionals diferents (Sector A i Sector B) la relació entre els anys d'experiència en el lloc de treball ($X$) i un índex de satisfacció laboral ($Y$, d'1 a 10 punts). Es recullen tres observacions en cada sector:

• Sector A: $(1, 5)$, $(2, 6)$ i $(3, 7)$.

• Sector B: $(7, 1)$, $(8, 2)$ i $(9, 3)$.

1. a) Dedueix, sense necessitat de fer càlculs de variàncies, el coeficient de correlació lineal del Sector A ($r_A$) i del Sector B ($r_B$), justificant la teva deducció a partir de la relació funcional observada en cada grup.
2. b) Un analista decideix ajuntar els dos grups en una única mostra global de 6 observacions. Calcula detalladament les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$, les desviacions típiques $\sigma_x$ i $\sigma_y$, la covariància global $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació global $r_{\text{global}}$.
3. c) Interpreta el resultat obtingut: com és possible que dins de cada sector la correlació lineal sigui perfecta i positiva ($r = 1$), però en fusionar tots dos sectors el coeficient global resulti fortament negatiu? Raona quin paper té la variable qualitativa oculta «sector» en aquesta aparent contradicció (coneguda com a paradoxa de Simpson).